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GEOMETRIA AFÍ

Punt i vector d'una recta donada en forma implícita

Veiem diferents maneres de trobar un punt i un vector director d'una recta donada en equació implícita

abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda a x más b y más c z igual d fin celda fila celda a apóstrofo x más b apóstrofo y más c apóstrofo z igual d apóstrofo fin celda fin tabla cerrar</p> <p><br />Una de les maneres més senzilles de trobar un vector director de la recta és fent el producte vectorial dels vectors normals dels plans que determinen la recta. O sigui:</p> <p>vector director: v con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual paréntesis izquierdo a coma b coma c paréntesis derecho multiplicación en cruz paréntesis izquierdo a apóstrofo coma b apóstrofo coma c apóstrofo paréntesis derecho</p> <p>i per trobar un punt, donem un valor qualsevol a una variable i, resolem el sistema per trobar les altres dues variables.</p> <p></p> <p><span style="text-decoration: underline;"><strong>Exemple.</strong></span></p> <p>recta</p> <p>abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda x menos 2 y más 3 z igual 1 fin celda fila celda 2 x más y más 2 z igual 2 fin celda fin tabla cerrar</p> <p></p> <p><strong>vector director:</strong> v con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual paréntesis izquierdo 1 coma menos 2 coma 3 paréntesis derecho multiplicación en cruz paréntesis izquierdo 2 coma 1 coma 2 paréntesis derecho</p> <p>Fem aquest producte vectorial:</p> <p>\left| {\begin{array}{*{20}{c}}i & j & k\\1 & { - 2} & 3\\2 & 1 & 2\\\end{array}} \right| = i\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2} & 3\\1 & 2\\\end{array}} \right| - j\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 3\\2 & 2\\\end{array}} \right| + k\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1 & { - 2}\\2 & 1\\\end{array}} \right| = - 7i + 4j + 5k

Per tant, un vector director de la recta és (-7,4,5)

Fixeu-vos que tant podem agafar el vector (-7,4,5) com el (7,-4,-5)

Punt.

Donem un valor qualsevol a una de les variables.

Agafem, per exemple z=0

Per trobar les coordenades x, y hem de resoldre el sistema:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 1}\\{2x + y = 2}\\\end{array}} \right\}

la solució d'aquest sistema és x=1, y=0

Per tan, un punt de la recta és (1,0,0)

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Podeu veure en aquest vídeos dos mètodes més per trobar un punt i un vector director de la recta:

a) Trobant dos punts de la recta:

b) Trobant l'equació paramètrica de la recta:
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