Equilibri i màquines simples: Equilibri

2. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.

Hi han dos situacions:

Un cos sotmès a forces concurrents

Direm que un cos que té varies forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

$estilo en línea sumatorio para blanco de F con flecha derecha encima igual 0 fin estilo$

Si les forces tenen la mateixa direcció es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg.
Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions

Determineu la tensió T₁ i T₂ que fa cada cable si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T₁ i T₂ ha de donar una força igual a P i que el sistema és simètric per tant: T₁ = T₂

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T₁ sin 45 + T₂ sin 45 = 2T sin 45

T igual fracción numerador P entre denominador 2 espacio sin espacio 45 fin fracción igual fracción numerador 147 coma 2 entre denominador 2 espacio sin espacio 45 fin fracción igual 104 coma 1 espacio N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions

Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

Descomponem la força en les coordenades x, y i després es planteja l'equació d'equilibri per a cada direcció.

$normal mayúscula sigma F subíndice Y igual 0$
$normal mayúscula sigma F subíndice X igual 0$

equilibri

$T subíndice A Y fin subíndice igual P igual espacio 616 espacio N$

Com tot és simètric:

$T subíndice C Y fin subíndice igual T subíndice D Y fin subíndice$
$T subíndice C X fin subíndice igual T subíndice D X fin subíndice$

Per $normal mayúscula sigma F subíndice Y igual 0$

$T subíndice A Y fin subíndice menos T subíndice C Y fin subíndice menos T subíndice D Y fin subíndice igual 0$

$T subíndice A Y fin subíndice menos 2 T subíndice C Y fin subíndice igual 0$

$T subíndice C Y fin subíndice igual fracción T subíndice A Y fin subíndice entre 2 igual fracción 616 entre 2 igual 308 espacio N$

$T subíndice C Y fin subíndice igual T subíndice C espacio sin espacio 45$

$T subíndice C igual T subíndice D igual fracción numerador T subíndice C Y fin subíndice entre denominador sin espacio 45 fin fracción igual fracción numerador 308 entre denominador 0 coma 7071 fin fracción igual 435 coma 6 espacio N$

Un cos sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero $normal mayúscula sigma F igual 0$ , també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero $normal mayúscula sigma M subíndice O igual 0 espacio espacio flecha derecha espacio espacio F subíndice 1 por d subíndice 1 más espacio F subíndice 2 por d subíndice 2 más... más espacio F subíndice n por d subíndice n igual 0$

Exemple de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la longitud de la barra és L =1 ,4 m i l’angle alfa és α = 45º. Determineu la força F_B que fa el tirant.

Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant F_B

- La força que fa el recolzament sobre l'articulació en A R_A.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

$normal mayúscula sigma M subíndice A igual 0 espacio espacio$

Cal recordar el signe segons el sentit de gir. Positiu antihorari i negatiu horari.

F_B respecte A és positiu.
P respecte A és negatiu.
R_A no dona moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

$R subíndice A por 0 menos P por abrir paréntesis fracción L entre 2 por cos espacio 45 cerrar paréntesis más F subíndice B por L por sin espacio 45 igual 0$

$F subíndice B igual fracción numerador P por abrir paréntesis estilo mostrar fracción L entre 2 fin estilo por cos espacio 45 cerrar paréntesis entre denominador L por sin espacio 45 fin fracción igual fracción numerador 1000 por abrir paréntesis estilo mostrar fracción numerador 1 coma 4 entre denominador 2 fin fracción fin estilo por cos espacio 45 cerrar paréntesis entre denominador 1 coma 4 por sin espacio 45 fin fracción igual 500 espacio N$

Per a calcular el valor de la força a R_A caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecte un altre punt.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

2. Equilibri