Equilibri i màquines simples

lloc: Cursos IOC - Batxillerat
Curs: Tecnologia industrial (autoformació IOC)
Llibre: Equilibri i màquines simples
Imprès per: Usuari convidat
Data: diumenge, 5 de maig 2024, 14:33

1. Vectors

Recordeu que un vector és un element matemàtic que necessita, a més del valor propi (mòdul o intensitat), donar un punt d'aplicació, una direcció i un sentit. Es representa per una fletxa. 

Suma i resta de vectors

Els vectors no es poden sumar directament sumant els seus valors, cal aplicar altres mètodes.

Per exemple, si tenim dos vectors a 90º com mostra la imatge on a = 3 m i b = 4 m, la resultant R serà R = 5 m que trobem aplicant el teorema de Pitàgores.

En cap cas podem fer la suma directa ratllat diagonal cap avall diagonal cap amunt 3 més 4 igual 7 fi ratllat

  R igual arrel quadrada de 3 al quadrat més 4 al quadrat fi arrel igual 5

Per calcular la suma o resta de vectors en situacions diferents, s’ha de fer servir la trigonometria i els teoremes del sinus, cosinus, etc. els quals els podeu consultar en qualsevol llibre de física o matemàtiques,

El vector pila a més b amb fletxa dreta a sobre és la suma vectorial de a amb fletxa dreta a sobre i b amb fletxa dreta a sobre

   =    

Producte escalar de dos vectors: Treball

Un producte escalar és una operació algebraica entre dos vectors que dóna un escalar (un número). El producte escalar de dos vectors és igual al producte de mòduls pel cosinus de l'angle que formen els dos vectors.

W igual F amb fletxa dreta a sobre per d amb fletxa dreta a sobre igual F per d per cos espai parèntesi esquerre F amb fletxa dreta a sobre coma d amb fletxa dreta a sobre parèntesi dret igual F per d per cos espai alfa

El treball (W), en Joules (J), és doncs un escalar que s'obté com a el producte de dos vectors, que són la força i l'espai. En la majoria dels casos la força i l'espai tenen la mateixa direcció, amb el cos 0º = 1, i per tant la fórmula queda així simplificada.

W igual F per d


Producte vectorial de dos vectors: Moment d’una força respecte un punt

Un altre concepte que ens interessa de la Física és el producte vectorial.

El producte vectorial de dos vectors és un altre vector, perpendicular al pla format pels dos vectors que es multipliquen. El sentit del vector resultant és el que indica la llei del tirabuixó a l'anar del 1r sobre el 2n i el mòdul o intensitat és el producte dels mòduls pel sinus de l'angle que formen:

M amb fletxa dreta a sobre igual r amb fletxa dreta a sobre multiplicació en creu F amb fletxa dreta a sobre igual r per F per sin espai parèntesi esquerre r amb fletxa dreta a sobre coma F amb fletxa dreta a sobre parèntesi dret

És important la fórmula del moment d'una força F  respecte al punt O, on el vector r amb fletxa dreta a sobre serà la distància perpendicular d entre la força F i el punt O, i així, com que el sin 90º = 1, la fórmula del moment per nosaltres serà:

M subíndex 0 igual d per F


E
l moment d'un vector respecte un punt és igual al valor de la força F en Newtons multiplicat per la distància perpendicular d en metres. El moment es mesura en N·m
Moment d'un vector

Exemple de càlcul de moment d’una força

Determineu el moment de la força F=1500 N sobre el punt A sabent que L=800 mm i α = 60º


Moment d'un vector

Podem calcular primer la distancia i després el moment

d igual L per sin espai alfa igual espai 0 coma 8 per sin espai 60 igual espai 0 coma 6928 espai m
M igual F per d igual 1500 per 0 coma 6928 igual espai 1039 espai N per m

o directament

M igual espai F per L per sin espai alfa igual 1500 per 0 coma 8 per sin espai 60 igual 1039 espai N per m


Parell de forces

Són dues forces paral·leles iguals i de sentit contrari. El càlcul del moment que provoquen és similar al cas anterior.

En aplicar un parell de forces a un cos, aquest gira, o es produeix una torsió. La magnitud de la rotació depèn del valor de la força i la distància entre elles. El parell de forces queda definit per:



Parell de forces

El moment del parell de forces seria la suma del moment de cada una, ja que les dues fan girar el cos cap al mateix sentit:

M igual F subíndex 1 per r subíndex 1 més F subíndex 2 per r subíndex 2

Si F1 = F2 = F     i      r1 = r2 = r  → r + r = d

M igual F per d

2. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.

Hi han dos situacions:

Un cos sotmès a forces concurrents

Direm que un cos que té varies forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

estil en línia sumatori per a blanc de F amb fletxa dreta a sobre igual 0 fi estil


Si les forces tenen la mateixa direcció es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg.
Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N
Làmpada

 

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions

Determineu la tensió T1 i T2 que fa cada cable si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T1 i T2 ha de donar una força igual a P i que el sistema és simètric per tant: T1 = T2

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T1 sin 45 + T2 sin 45 = 2T sin 45

T igual fracció numerador P entre denominador 2 espai sin espai 45 fi fracció igual fracció numerador 147 coma 2 entre denominador 2 espai sin espai 45 fi fracció igual 104 coma 1 espai N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions



Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

Descomponem la força en les coordenades x, y i després es planteja l'equació d'equilibri per a cada direcció.

normal majúscula sigma F subíndex Y igual 0
normal majúscula sigma F subíndex X igual 0

equilibri

 

T subíndex A Y fi subíndex igual P igual espai 616 espai N

Com tot és simètric:

T subíndex C Y fi subíndex igual T subíndex D Y fi subíndex
T subíndex C X fi subíndex igual T subíndex D X fi subíndex

Per normal majúscula sigma F subíndex Y igual 0

T subíndex A Y fi subíndex menys T subíndex C Y fi subíndex menys T subíndex D Y fi subíndex igual 0

T subíndex A Y fi subíndex menys 2 T subíndex C Y fi subíndex igual 0

T subíndex C Y fi subíndex igual fracció T subíndex A Y fi subíndex entre 2 igual fracció 616 entre 2 igual 308 espai N

T subíndex C Y fi subíndex igual T subíndex C espai sin espai 45

T subíndex C igual T subíndex D igual fracció numerador T subíndex C Y fi subíndex entre denominador sin espai 45 fi fracció igual fracció numerador 308 entre denominador 0 coma 7071 fi fracció igual 435 coma 6 espai N

.

 

Un cos sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero normal majúscula sigma F igual 0, també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero normal majúscula sigma M subíndex O igual 0 espai espai fletxa dreta espai espai F subíndex 1 per d subíndex 1 més espai F subíndex 2 per d subíndex 2 més... més espai F subíndex n per d subíndex n igual 0

Exemple de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la longitud de la barra és L =1 ,4 m i l’angle alfa és α = 45º. Determineu la força FB que fa el tirant.


Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant FB

- La força que fa el recolzament sobre l'articulació en A RA.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

normal majúscula sigma M subíndex A igual 0 espai espai

Cal recordar el signe segons el sentit de gir. Positiu antihorari i negatiu horari.

  • FB respecte A és positiu.
  • P respecte A és negatiu.
  • RA no dona moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

R subíndex A per 0 menys P per obre parèntesis fracció L entre 2 per cos espai 45 tanca parèntesis més F subíndex B per L per sin espai 45 igual 0

F subíndex B igual fracció numerador P per obre parèntesis estil mostrar fracció L entre 2 fi estil per cos espai 45 tanca parèntesis entre denominador L per sin espai 45 fi fracció igual fracció numerador 1000 per obre parèntesis estil mostrar fracció numerador 1 coma 4 entre denominador 2 fi fracció fi estil per cos espai 45 tanca parèntesis entre denominador 1 coma 4 per sin espai 45 fi fracció igual 500 espai N


Per a calcular el valor de la força a RA caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecte un altre punt.

 


3. Màquines simples


Una màquina és un sistema format per un conjunt de mecanismes que actuen conjuntament per a realitzar una tasca. Les maquines simples fan forces i transmeten parells.

Les màquines segueixen les lleis de la mecànica. Si es fa un estudi cinemàtic es poden calcular desplaçaments, velocitats i acceleracions. Si es fa un estudi dinàmic es poden calcular forces i moments.


Algunes de les màquines simples són:


La palanca


Una palanca és una màquina simple composta per una barra rígida que pot girar al voltant d'un punt de suport o fulcre. Es pot fer servir per a amplificar la força, o per a incrementar la distància recorreguda per un objecte en resposta a l'aplicació d'una força.


Si la palanca està en equilibri, es verifica que la suma de moments respecte el punt O val zero. El moment que genera la força F1 és igual i de sentit contrari al moment que genera la força F2:



palanca




M = moment (N·m)


F = força (N)


d= distància de la força al fulcre (m)



El torn


Un torn és una màquina simple que consisteix en un cilindre amb una corda al seu voltant, i una maneta. Girant la maneta també fem girar el cilindre i podem pujar masses. El torn també pot ser mogut per dues manetes, o també es pot accionar per un motor.


També es compleix que:




Per tant s’assembla molt a la palanca anterior.