Equilibri i màquines simples: Vectors

1. Vectors

Recordeu que un vector és un element matemàtic que necessita, a més del valor propi (mòdul o intensitat), donar un punt d'aplicació, una direcció i un sentit. Es representa per una fletxa.

Suma i resta de vectors

Els vectors no es poden sumar directament sumant els seus valors, cal aplicar altres mètodes.

Per exemple, si tenim dos vectors a 90º com mostra la imatge on a = 3 m i b = 4 m, la resultant R serà R = 5 m que trobem aplicant el teorema de Pitàgores.

En cap cas podem fer la suma directa $trait barré descendant trait barré ascendant sur 3 plus 4 égal à 7 fin du trait$

$R égal à début de racine carrée de 3 au carré plus 4 au carré fin de racine égal à 5$

Per calcular la suma o resta de vectors en situacions diferents, s’ha de fer servir la trigonometria i els teoremes del sinus, cosinus, etc. els quals els podeu consultar en qualsevol llibre de física o matemàtiques,

El vector $empilement a plus b avec flèche vers la droite au-dessus$ és la suma vectorial de $a avec flèche vers la droite au-dessus$ i $b avec flèche vers la droite au-dessus$

Producte escalar de dos vectors: Treball

Un producte escalar és una operació algebraica entre dos vectors que dóna un escalar (un número). El producte escalar de dos vectors és igual al producte de mòduls pel cosinus de l'angle que formen els dos vectors.

$W égal à F avec flèche vers la droite au-dessus fois d avec flèche vers la droite au-dessus égal à F fois d fois cos espace parenthèse gauche F avec flèche vers la droite au-dessus virgule d avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse droite égal à F fois d fois cos espace alpha$

El treball (W), en Joules (J), és doncs un escalar que s'obté com a el producte de dos vectors, que són la força i l'espai. En la majoria dels casos la força i l'espai tenen la mateixa direcció, amb el cos 0º = 1, i per tant la fórmula queda així simplificada.

$W égal à F fois d$

Producte vectorial de dos vectors: Moment d’una força respecte un punt

Un altre concepte que ens interessa de la Física és el producte vectorial.

El producte vectorial de dos vectors és un altre vector, perpendicular al pla format pels dos vectors que es multipliquen. El sentit del vector resultant és el que indica la llei del tirabuixó a l'anar del 1r sobre el 2n i el mòdul o intensitat és el producte dels mòduls pel sinus de l'angle que formen:

$M avec flèche vers la droite au-dessus égal à r avec flèche vers la droite au-dessus croix de multiplication F avec flèche vers la droite au-dessus égal à r fois F fois sin espace parenthèse gauche r avec flèche vers la droite au-dessus virgule F avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse droite$

És important la fórmula del moment d'una força F respecte al punt O, on el vector $r avec flèche vers la droite au-dessus$ serà la distància perpendicular d entre la força F i el punt O, i així, com que el sin 90º = 1, la fórmula del moment per nosaltres serà:

M indice 0 égal à d fois F

El moment d'un vector respecte un punt és igual al valor de la força F en Newtons multiplicat per la distància perpendicular d en metres. El moment es mesura en N·m

Exemple de càlcul de moment d’una força

Determineu el moment de la força F=1500 N sobre el punt A sabent que L=800 mm i α = 60º

Moment d'un vector

Podem calcular primer la distancia i després el moment

d égal à L fois sin espace alpha égal à espace 0 virgule 8 fois sin espace 60 égal à espace 0 virgule 6928 espace m

M égal à F fois d égal à 1500 fois 0 virgule 6928 égal à espace 1039 espace N fois m

o directament

M égal à espace F fois L fois sin espace alpha égal à 1500 fois 0 virgule 8 fois sin espace 60 égal à 1039 espace N fois m

Parell de forces

Són dues forces paral·leles iguals i de sentit contrari. El càlcul del moment que provoquen és similar al cas anterior.

En aplicar un parell de forces a un cos, aquest gira, o es produeix una torsió. La magnitud de la rotació depèn del valor de la força i la distància entre elles. El parell de forces queda definit per:

Parell de forces

El moment del parell de forces seria la suma del moment de cada una, ja que les dues fan girar el cos cap al mateix sentit:

M égal à F indice 1 fois r indice 1 plus F indice 2 fois r indice 2

Si F₁ = F₂= F i r₁ = r₂ = r → r + r = d

M égal à F fois d

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

1. Vectors