Solucions Física en context 5: Q57

Q57

Un bloc de 4 kg que es mou cap a la dreta amb una velocitat de 6 m·s^-1 xoca elàsticament amb un altre bloc de 2 kg que també es mou cap a la dreta amb una velocitat de 3 m·s^-1. Trobeu les velocitats finals de cada bloc.

Aquest és un problema de xoc elàstic, i això vol dir que no hi ha pèrdua d'energia i aquesta en conserva. Per tant l'energia inicial dels dos cossos és igual a l'energia final.

$E subscript c subscript o end subscript equals E subscript c$

$E subscript c subscript 1 subscript o end subscript end subscript plus E subscript c subscript 2 subscript o end subscript end subscript equals E subscript c subscript 1 end subscript plus E subscript c subscript 2 end subscript$

$1 half times m subscript 1 times v subscript 1 subscript o end subscript superscript 2 plus 1 half times m subscript 2 times v subscript 2 subscript o end subscript superscript 2 equals 1 half times m subscript 1 times v subscript 1 superscript 2 plus 1 half times m subscript 2 times v subscript 2 superscript 2$

Les dades que tenim són:

$m subscript 1 equals 4 space k g m subscript 2 equals 2 space k g v subscript 1 subscript o end subscript equals 6 space m times s to the power of negative 1 end exponent v subscript 2 subscript o end subscript equals 3 space m times s to the power of negative 1 end exponent v subscript 1 subscript o end subscript equals ? v subscript 2 subscript o end subscript equals ?$

Si substituïm tenim:

$1 half times 4 times 6 squared plus 1 half times 2 times 3 squared equals 1 half times 4 times v subscript 1 superscript 2 plus 1 half times 2 times v subscript 2 superscript 2$

Amb aquesta equació no hi ha prou per a resoldre el problema ja que tenim dues incògnites que són les velocitats finals dels dos cossos. Però sabem que el qualsevol xoc, ja sigui elàstic o inelàstic la quantitat de moviment es conserva:

http://cesire.cat.mialias.net/recursos/context/fisica/unitat%203/112_estudiant_les_collisions.html

Així tenim la següent equació:

$stack p subscript o with rightwards harpoon with barb upwards on top equals p with rightwards harpoon with barb upwards on top$

Com només estem en una direcció calculem el mòdul:

$p subscript o equals p$

$p subscript 1 subscript o end subscript plus p subscript 2 subscript o end subscript equals p subscript 1 plus p subscript 2$

$m subscript 1 times v subscript 1 subscript o end subscript plus m subscript 2 times v subscript 2 subscript o end subscript equals m subscript 1 times v subscript 1 plus m subscript 2 times v subscript 2$

i si substituïm tenim:

$4 times 6 plus 2 times 3 equals 4 times v subscript 1 plus 2 times v subscript 2$

Ara amb aquesta equació i la del balanç energètic podem fer un sistema de dues equacions amb dues incògnites:

$open table attributes columnalign left end attributes row cell 4 times 6 plus 2 times 3 equals 4 times v subscript 1 plus 2 times v subscript 2 end cell row cell 1 half times 4 times 6 squared plus 1 half times 2 times 3 squared equals 1 half times 4 times v subscript 1 superscript 2 plus 1 half times 2 times v subscript 2 superscript 2 end cell end table close curly brackets$

$open table attributes columnalign left end attributes row cell 30 equals 4 times v subscript 1 plus 2 times v subscript 2 end cell row cell 81 equals 2 times v subscript 1 superscript 2 plus v subscript 2 superscript 2 end cell end table close curly brackets$

Aïllem la primera equació:

$v subscript 2 equals 15 minus 2 times v subscript 1$

i substituïm a la segona:

$81 equals 2 times v subscript 1 superscript 2 plus left parenthesis 15 minus 2 times v subscript 1 right parenthesis squared$

$81 equals 2 times v subscript 1 superscript 2 plus 225 minus 60 times v subscript 1 plus 4 times v subscript 1 superscript 2$

$6 times v subscript 1 superscript 2 minus 60 times v subscript 1 plus 144 equals 0$

$v subscript 1 equals fraction numerator negative left parenthesis negative 60 right parenthesis plus-or-minus square root of 60 squared minus 4 times 6 times 144 end root over denominator 2 times 6 end fraction equals fraction numerator 60 plus-or-minus 12 over denominator 12 end fraction rightwards arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell v subscript 1 equals 6 space begin inline style m over s end style end cell row cell begin inline style v subscript 1 equals 4 space m over s end style end cell end table close$

La primera solució significaria que el primer bloc no ha modificat la seva velocitat després del xoc. Aiíx agafem com a vàlida la segona solució:

$begin inline style box enclose v subscript 1 equals 4 space m over s end enclose end style$

i la velocitat del segon cos és:

$v subscript 2 equals 15 minus 2 times 4$

$begin inline style box enclose v subscript 2 equals 7 space m over s end enclose end style$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Q57