Solucions Física en context 5

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Física (autoformació IOC)
Llibre:	Solucions Física en context 5

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	dimarts, 7 de maig 2024, 14:53

Descripció

Solucions Física en context

Taula de continguts

Q40

Un vehicle de 750 kg es capaç d'accelerar de 0 a 100 km/h en 2,6 s. Quina és la potència del seu motor?

Primer calculem el treball que fa el motor d'aquest vehicle per produir aquest augment de velocitat:

$W igual majúscula delta E igual E subíndex c menys E subíndex c subíndex o fi subíndex$

Abans de substituir posem totes les dades en unitats del sistema internacional:

$100 fracció numerador ratllat diagonal cap amunt k m fi ratllat entre denominador ratllat diagonal cap amunt h fi fracció per fracció numerador 1000 espai m entre denominador 1 espai ratllat diagonal cap amunt k m fi ratllat fi fracció per fracció numerador 1 espai ratllat diagonal cap amunt h entre denominador 3600 espai s fi fracció igual espai 27 coma 78 espai fracció m entre s$

i ara calculem el treball:

$W igual 1 mig per m per v al quadrat menys 1 mig per m per v subíndex o superíndex 2$

$W igual 1 mig per 750 per 27 coma 78 al quadrat menys 0$

$W igual 289400 espai J$

I la potència serà:

$P igual fracció W entre t igual fracció numerador 289400 entre denominador 2 coma 6 fi fracció espai$

$P igual 111308 espai W$

$envoltori caixa P igual 111 espai k W fi envoltori$

El problema també es pot fer per forces, però és una mica més llarg. Primer de tot hem de suposar que la força que aplica el motor és contant i que el vehicle realitza un moviment rectilini amb acceleració constant (si això no és així no es pot fer per forces).

Calculem l'acceleració:

$v igual v subíndex o més a per t$

$27 coma 78 igual 0 més a per 2 coma 6$

$a igual 10 coma 68 espai estil en línia fracció m entre s al quadrat fi estil$

Per la segona llei de Newton tenim que la força és:

$F igual m per a$

$F igual 750 per 10 coma 68$

$F igual 8010 espai N$

Per a calcular el treball primer necessitem saber la distància recorreguda:

$v al quadrat igual v subíndex o superíndex 2 més 2 per a per majúscula delta x$

$27 coma 28 al quadrat igual 0 més 2 per 10 coma 68 per majúscula delta x$

$majúscula delta x igual 36 coma 13 espai m$

i el treball és:

$W igual F per majúscula delta x$

$W igual 289400 espai J$

I la potència serà:

$P igual fracció W entre t igual fracció numerador 289400 entre denominador 2 coma 6 fi fracció espai$

$P igual 111308 espai W$

$envoltori caixa P igual 111 espai k W fi envoltori$

(Es recomana fer aquest exercici amb el primer mètode)

Q47

Quines serien les respostes de la qüestió 46 si el rendiment fos del 25%?

a) La força que has de fer el motor ha de ser sempre igual o superior a la força de fricció, ja que si on fos així el vehicle no és mouria. Per tant:

$envoltori caixa F igual 500 espai N fi envoltori$

b) Per a calcular la distància que recorre el vehicle primer calcularem l'energia:

$R e n d i m e n t espai igual espai fracció numerador E n e r g i a espai ú t i l entre denominador E n e r g i a espai a p o r t a d a fi fracció$

$0 coma 25 espai igual espai fracció numerador E n e r g i a espai ú t i l entre denominador 40 per 10 elevat a 6 fi fracció$

$E n e r g i a espai ú t i l igual 10 elevat a 7 espai fi elevat J$

i la distància és:

$W igual F per majúscula delta x$

$E n e r g i a espai ú t i l igual F per majúscula delta x$

$10 elevat a 7 igual 500 per majúscula delta x$

$envoltori caixa majúscula delta x igual 20000 espai m espai igual espai 20 espai k m fi envoltori$

Q56

Un cos de 3 kg, que es mou amb una velocitat de 4 m·s^-1, xoca elàsticament contra un cos de 2 kg, inicialment aturat. Quines són les velocitats finals de cada un dels cossos?

Aquest és un problema de xoc elàstic, i això vol dir que no hi ha pèrdua d'energia i aquesta en conserva. Per tant l'energia inicial dels dos cossos és igual a l'energia final.

$E subíndex c subíndex o fi subíndex igual E subíndex c$

$E subíndex c subíndex 1 subíndex o fi subíndex fi subíndex més E subíndex c subíndex 2 subíndex o fi subíndex fi subíndex igual E subíndex c subíndex 1 fi subíndex més E subíndex c subíndex 2 fi subíndex$

$1 mig per m subíndex 1 per v subíndex 1 subíndex o fi subíndex superíndex 2 més 1 mig per m subíndex 2 per v subíndex 2 subíndex o fi subíndex superíndex 2 igual 1 mig per m subíndex 1 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per m subíndex 2 per v subíndex 2 superíndex 2$

Les dades que tenim són:

$m subíndex 1 igual 3 espai k g m subíndex 2 igual 2 espai k g v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual 4 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual 0 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual ? v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual ?$

Si substituïm tenim:

$1 mig per 3 per 4 al quadrat més 1 mig per 2 per 0 al quadrat igual 1 mig per 3 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2$

Amb aquesta equació no hi ha prou per a resoldre el problema ja que tenim dues incògnites que són les velocitats finals dels dos cossos. Però sabem que el qualsevol xoc, ja sigui elàstic o inelàstic la quantitat de moviment es conserva:

http://cesire.cat.mialias.net/recursos/context/fisica/unitat%203/112_estudiant_les_collisions.html

Així tenim la següent equació:

$pila p subíndex o amb arpó dret amb ham cap avall a sobre igual p amb arpó dret amb ham cap avall a sobre$

Com només estem en una direcció calculem el mòdul:

$p subíndex o igual p$

$p subíndex 1 subíndex o fi subíndex més p subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual p subíndex 1 més p subíndex 2$

$m subíndex 1 per v subíndex 1 subíndex o fi subíndex més m subíndex 2 per v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual m subíndex 1 per v subíndex 1 més m subíndex 2 per v subíndex 2$

i si substituïm tenim:

$3 per 4 més 2 per 0 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2$

Ara amb aquesta equació i la del balanç energètic podem fer un sistema de dues equacions amb dues incògnites:

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 3 per 4 més 2 per 0 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 1 mig per 3 per 4 al quadrat més 1 mig per 2 per 0 al quadrat igual 1 mig per 3 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 12 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

Hi ha moltes maneres de resoldre aquets sistema, per exemple aillem v₂ de la primera equació i el substituïm en la segona:

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció$

i substituïm:

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més obre parèntesis fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis al quadrat$

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més fracció numerador 12 al quadrat més 3 al quadrat per v subíndex 1 superíndex 2 menys 2 per 12 per 3 per v subíndex 1 entre denominador 4 fi fracció$

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més fracció numerador 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1 entre denominador 4 fi fracció$

$4 per 24 igual 4 per 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1$

$96 igual 6 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1$

$96 igual 15 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 menys 72 per v subíndex 1$

$15 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1 més 48 igual 0$

Resolem d'equació de segon grau:

$v subíndex 1 igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 72 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 72 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 15 per 48 fi arrel entre denominador 2 per 15 fi fracció$

$v subíndex 1 igual fracció numerador 72 més-menys 48 entre denominador 30 fi fracció$

I les dues solucions són:

$S o l u c i ó espai 1 espai fletxa dreta espai v subíndex 1 igual espai 4 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat S o l u c i ó espai 2 espai fletxa dreta espai v subíndex 1 igual espai 0 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat$

La primera solució és trivial ja que correspon a la velocitat inicial del cos 1. Aquesta primera solució ens diu que si el primer cos continua igual sense canviar el segon cos continuarà quiet (no hi ha xoc) i per tant en conservarà l'energia i la quantitat de moviment.

En el nostre cas la solució correcta és la segona:

$envoltori caixa v subíndex 1 igual espai 0 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat fi envoltori$

i pel segon cos tenim:

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció$

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per 0 coma 8 entre denominador 2 fi fracció$

$envoltori caixa v subíndex 2 igual espai 4 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat fi envoltori$

Q57

Un bloc de 4 kg que es mou cap a la dreta amb una velocitat de 6 m·s^-1 xoca elàsticament amb un altre bloc de 2 kg que també es mou cap a la dreta amb una velocitat de 3 m·s^-1. Trobeu les velocitats finals de cada bloc.

Aquest és un problema de xoc elàstic, i això vol dir que no hi ha pèrdua d'energia i aquesta en conserva. Per tant l'energia inicial dels dos cossos és igual a l'energia final.

$E subíndex c subíndex o fi subíndex igual E subíndex c$

Les dades que tenim són:

$m subíndex 1 igual 4 espai k g m subíndex 2 igual 2 espai k g v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual 6 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual 3 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual ? v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual ?$

Si substituïm tenim:

$1 mig per 4 per 6 al quadrat més 1 mig per 2 per 3 al quadrat igual 1 mig per 4 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2$

http://cesire.cat.mialias.net/recursos/context/fisica/unitat%203/112_estudiant_les_collisions.html

Així tenim la següent equació:

$pila p subíndex o amb arpó dret amb ham cap avall a sobre igual p amb arpó dret amb ham cap avall a sobre$

Com només estem en una direcció calculem el mòdul:

$p subíndex o igual p$

$p subíndex 1 subíndex o fi subíndex més p subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual p subíndex 1 més p subíndex 2$

$m subíndex 1 per v subíndex 1 subíndex o fi subíndex més m subíndex 2 per v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual m subíndex 1 per v subíndex 1 més m subíndex 2 per v subíndex 2$

i si substituïm tenim:

$4 per 6 més 2 per 3 igual 4 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2$

Ara amb aquesta equació i la del balanç energètic podem fer un sistema de dues equacions amb dues incògnites:

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 4 per 6 més 2 per 3 igual 4 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 1 mig per 4 per 6 al quadrat més 1 mig per 2 per 3 al quadrat igual 1 mig per 4 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 30 igual 4 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 81 igual 2 per v subíndex 1 superíndex 2 més v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

Aïllem la primera equació:

$v subíndex 2 igual 15 menys 2 per v subíndex 1$

i substituïm a la segona:

$81 igual 2 per v subíndex 1 superíndex 2 més parèntesi esquerre 15 menys 2 per v subíndex 1 parèntesi dret al quadrat$

$81 igual 2 per v subíndex 1 superíndex 2 més 225 menys 60 per v subíndex 1 més 4 per v subíndex 1 superíndex 2$

$6 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 60 per v subíndex 1 més 144 igual 0$

$v subíndex 1 igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 60 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de 60 al quadrat menys 4 per 6 per 144 fi arrel entre denominador 2 per 6 fi fracció igual fracció numerador 60 més-menys 12 entre denominador 12 fi fracció fletxa dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la v subíndex 1 igual 6 espai estil en línia fracció m entre s fi estil fi cel·la fila cel·la estil en línia v subíndex 1 igual 4 espai fracció m entre s fi estil fi cel·la fi taula tanca$

La primera solució significaria que el primer bloc no ha modificat la seva velocitat després del xoc. Aiíx agafem com a vàlida la segona solució:

$estil en línia envoltori caixa v subíndex 1 igual 4 espai fracció m entre s fi envoltori fi estil$

i la velocitat del segon cos és:

$v subíndex 2 igual 15 menys 2 per 4$

$estil en línia envoltori caixa v subíndex 2 igual 7 espai fracció m entre s fi envoltori fi estil$

Q58

Un vagó de massa M es desplaça a una velocitat v per una via horitzontal sense fricció i xoca contra un altre vagó idèntic aturat. Si després de l'impacte ambdós vagons queden units, quin percentatge de l'energia inicial s'ha perdut en el xoc?

A través del principi de conservació de la quantitat de moviment:

$pila p subíndex o amb arpó dret amb ham cap avall a sobre igual p amb arpó dret amb ham cap avall a sobre$

$M per v més M per 0 igual 2 per M per v subíndex f$

$v subíndex f igual fracció v entre 2$

I per trobar el percentatge de l'energia inicial s'ha perdut en el xoc:

$E subíndex p e r d u d a fi subíndex igual fracció numerador E subíndex i n i c i a l fi subíndex menys E subíndex f i n a l fi subíndex entre denominador E subíndex i n i c i a l fi subíndex fi fracció$

$E subíndex p e r d u d a fi subíndex igual fracció numerador estil mostrar ratllat diagonal cap amunt 1 mig fi ratllat per ratllat diagonal cap amunt M per v al quadrat menys ratllat diagonal cap amunt 1 mig fi ratllat per parèntesi esquerre 2 ratllat diagonal cap amunt M parèntesi dret per v subíndex f superíndex 2 fi estil entre denominador estil mostrar ratllat diagonal cap amunt 1 mig fi ratllat per ratllat diagonal cap amunt M per v al quadrat fi estil fi fracció$

$E subíndex p e r d u d a fi subíndex igual fracció numerador estil mostrar v al quadrat menys 2 per v subíndex f superíndex 2 fi estil entre denominador estil mostrar v al quadrat fi estil fi fracció$

$E subíndex p e r d u d a fi subíndex igual fracció numerador estil mostrar v al quadrat menys 2 per obre parèntesis fracció v entre 2 tanca parèntesis al quadrat fi estil entre denominador estil mostrar v al quadrat fi estil fi fracció igual fracció numerador v al quadrat menys estil mostrar fracció v al quadrat entre 2 fi estil entre denominador v al quadrat fi fracció igual fracció numerador v al quadrat entre denominador 2 per v al quadrat fi fracció igual 1 mig$

$envoltori caixa E subíndex p e r d u d a fi subíndex igual 50 espai percentatge fi envoltori$

Q68

Un bloc de massa 20 kg cau lliscant per un pla inclinat, salvant un desnivell de 25 m. Si parteix del repòs i assoleix una velocitat final de 15 m·s^-1, determineu l'energia perduda per fricció.

El treball de la fricció (força no conservativa) és igual a la variació de l'energia mecànica del cos:

$W subíndex F subíndex n c fi subíndex fi subíndex igual majúscula delta E subíndex m$

$majúscula delta E subíndex m igual majúscula delta E subíndex c més majúscula delta E subíndex p$

$majúscula delta E subíndex c igual 1 mig per m per v al quadrat menys 1 mig per m per v subíndex 0 al quadrat igual 1 mig per 20 espai k g per parèntesi esquerre 15 espai fracció m entre s parèntesi dret al quadrat menys 0 igual 2250 espai J$

L'energia cinètica del bloc augmenta perquè inicialment està en repòs i la velocitat final és positiva.

$majúscula delta E subíndex p igual m per g per h menys m per g per h subíndex 0 igual m per g per majúscula delta h igual 20 espai k g per 9 coma 8 espai fracció numerador N entre denominador k g fi fracció per parèntesi esquerre menys 25 espai m parèntesi dret igual menys 4900 espai J$

L'energia potencial del bloc disminueix perquè inicialment està a més altura que al final (desnivell de 25 m).

$majúscula delta E subíndex m igual 2250 menys 4900 igual menys 2650 espai J$

La variació d'energia mecànica és negativa degut al treball de la fricció.

L'energia perduda (en valor absolut) serà de 2650 J (2,65 kJ)