Solucions Física en context 5: Q56

Q56

Un cos de 3 kg, que es mou amb una velocitat de 4 m·s^-1, xoca elàsticament contra un cos de 2 kg, inicialment aturat. Quines són les velocitats finals de cada un dels cossos?

Aquest és un problema de xoc elàstic, i això vol dir que no hi ha pèrdua d'energia i aquesta en conserva. Per tant l'energia inicial dels dos cossos és igual a l'energia final.

$E subíndice c subíndice o fin subíndice igual E subíndice c$

$E subíndice c subíndice 1 subíndice o fin subíndice fin subíndice más E subíndice c subíndice 2 subíndice o fin subíndice fin subíndice igual E subíndice c subíndice 1 fin subíndice más E subíndice c subíndice 2 fin subíndice$

$1 medio por m subíndice 1 por v subíndice 1 subíndice o fin subíndice superíndice 2 más 1 medio por m subíndice 2 por v subíndice 2 subíndice o fin subíndice superíndice 2 igual 1 medio por m subíndice 1 por v subíndice 1 superíndice 2 más 1 medio por m subíndice 2 por v subíndice 2 superíndice 2$

Les dades que tenim són:

$m subíndice 1 igual 3 espacio k g m subíndice 2 igual 2 espacio k g v subíndice 1 subíndice o fin subíndice igual 4 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado v subíndice 2 subíndice o fin subíndice igual 0 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado v subíndice 1 subíndice o fin subíndice igual ? v subíndice 2 subíndice o fin subíndice igual ?$

Si substituïm tenim:

$1 medio por 3 por 4 al cuadrado más 1 medio por 2 por 0 al cuadrado igual 1 medio por 3 por v subíndice 1 superíndice 2 más 1 medio por 2 por v subíndice 2 superíndice 2$

Amb aquesta equació no hi ha prou per a resoldre el problema ja que tenim dues incògnites que són les velocitats finals dels dos cossos. Però sabem que el qualsevol xoc, ja sigui elàstic o inelàstic la quantitat de moviment es conserva:

http://cesire.cat.mialias.net/recursos/context/fisica/unitat%203/112_estudiant_les_collisions.html

Així tenim la següent equació:

$pila p subíndice o con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima igual p con arpón derecho con anzuelo hacia abajo encima$

Com només estem en una direcció calculem el mòdul:

$p subíndice o igual p$

$p subíndice 1 subíndice o fin subíndice más p subíndice 2 subíndice o fin subíndice igual p subíndice 1 más p subíndice 2$

$m subíndice 1 por v subíndice 1 subíndice o fin subíndice más m subíndice 2 por v subíndice 2 subíndice o fin subíndice igual m subíndice 1 por v subíndice 1 más m subíndice 2 por v subíndice 2$

i si substituïm tenim:

$3 por 4 más 2 por 0 igual 3 por v subíndice 1 más 2 por v subíndice 2$

Ara amb aquesta equació i la del balanç energètic podem fer un sistema de dues equacions amb dues incògnites:

$abrir tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 3 por 4 más 2 por 0 igual 3 por v subíndice 1 más 2 por v subíndice 2 fin celda fila celda 1 medio por 3 por 4 al cuadrado más 1 medio por 2 por 0 al cuadrado igual 1 medio por 3 por v subíndice 1 superíndice 2 más 1 medio por 2 por v subíndice 2 superíndice 2 fin celda fin tabla cerrar llaves$

$abrir tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda 12 igual 3 por v subíndice 1 más 2 por v subíndice 2 fin celda fila celda 24 igual 1 coma 5 por v subíndice 1 superíndice 2 más v subíndice 2 superíndice 2 fin celda fin tabla cerrar llaves$

Hi ha moltes maneres de resoldre aquets sistema, per exemple aillem v₂ de la primera equació i el substituïm en la segona:

$v subíndice 2 igual fracción numerador 12 menos 3 por v subíndice 1 entre denominador 2 fin fracción$

i substituïm:

$24 igual 1 coma 5 por v subíndice 1 superíndice 2 más abrir paréntesis fracción numerador 12 menos 3 por v subíndice 1 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado$

$24 igual 1 coma 5 por v subíndice 1 superíndice 2 más fracción numerador 12 al cuadrado más 3 al cuadrado por v subíndice 1 superíndice 2 menos 2 por 12 por 3 por v subíndice 1 entre denominador 4 fin fracción$

$24 igual 1 coma 5 por v subíndice 1 superíndice 2 más fracción numerador 144 más 9 por v subíndice 1 superíndice 2 menos 72 por v subíndice 1 entre denominador 4 fin fracción$

$4 por 24 igual 4 por 1 coma 5 por v subíndice 1 superíndice 2 más 144 más 9 por v subíndice 1 superíndice 2 menos 72 por v subíndice 1$

$96 igual 6 por v subíndice 1 superíndice 2 más 144 más 9 por v subíndice 1 superíndice 2 menos 72 por v subíndice 1$

$96 igual 15 por v subíndice 1 superíndice 2 más 144 menos 72 por v subíndice 1$

$15 por v subíndice 1 superíndice 2 menos 72 por v subíndice 1 más 48 igual 0$

Resolem d'equació de segon grau:

$v subíndice 1 igual fracción numerador menos paréntesis izquierdo menos 72 paréntesis derecho más-menos raíz cuadrada de paréntesis izquierdo menos 72 paréntesis derecho al cuadrado menos 4 por 15 por 48 fin raíz entre denominador 2 por 15 fin fracción$

$v subíndice 1 igual fracción numerador 72 más-menos 48 entre denominador 30 fin fracción$

I les dues solucions són:

$S o l u c i ó espacio 1 espacio flecha derecha espacio v subíndice 1 igual espacio 4 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado S o l u c i ó espacio 2 espacio flecha derecha espacio v subíndice 1 igual espacio 0 coma 8 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado$

La primera solució és trivial ja que correspon a la velocitat inicial del cos 1. Aquesta primera solució ens diu que si el primer cos continua igual sense canviar el segon cos continuarà quiet (no hi ha xoc) i per tant en conservarà l'energia i la quantitat de moviment.

En el nostre cas la solució correcta és la segona:

$envoltorio caja v subíndice 1 igual espacio 0 coma 8 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado fin envoltorio$

i pel segon cos tenim:

$v subíndice 2 igual fracción numerador 12 menos 3 por v subíndice 1 entre denominador 2 fin fracción$

$v subíndice 2 igual fracción numerador 12 menos 3 por 0 coma 8 entre denominador 2 fin fracción$

$envoltorio caja v subíndice 2 igual espacio 4 coma 8 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado fin envoltorio$

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