Solucions Física en context 5: Q56

Q56

Un cos de 3 kg, que es mou amb una velocitat de 4 m·s^-1, xoca elàsticament contra un cos de 2 kg, inicialment aturat. Quines són les velocitats finals de cada un dels cossos?

Aquest és un problema de xoc elàstic, i això vol dir que no hi ha pèrdua d'energia i aquesta en conserva. Per tant l'energia inicial dels dos cossos és igual a l'energia final.

$E subíndex c subíndex o fi subíndex igual E subíndex c$

$E subíndex c subíndex 1 subíndex o fi subíndex fi subíndex més E subíndex c subíndex 2 subíndex o fi subíndex fi subíndex igual E subíndex c subíndex 1 fi subíndex més E subíndex c subíndex 2 fi subíndex$

$1 mig per m subíndex 1 per v subíndex 1 subíndex o fi subíndex superíndex 2 més 1 mig per m subíndex 2 per v subíndex 2 subíndex o fi subíndex superíndex 2 igual 1 mig per m subíndex 1 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per m subíndex 2 per v subíndex 2 superíndex 2$

Les dades que tenim són:

$m subíndex 1 igual 3 espai k g m subíndex 2 igual 2 espai k g v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual 4 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual 0 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat v subíndex 1 subíndex o fi subíndex igual ? v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual ?$

Si substituïm tenim:

$1 mig per 3 per 4 al quadrat més 1 mig per 2 per 0 al quadrat igual 1 mig per 3 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2$

Amb aquesta equació no hi ha prou per a resoldre el problema ja que tenim dues incògnites que són les velocitats finals dels dos cossos. Però sabem que el qualsevol xoc, ja sigui elàstic o inelàstic la quantitat de moviment es conserva:

http://cesire.cat.mialias.net/recursos/context/fisica/unitat%203/112_estudiant_les_collisions.html

Així tenim la següent equació:

$pila p subíndex o amb arpó dret amb ham cap avall a sobre igual p amb arpó dret amb ham cap avall a sobre$

Com només estem en una direcció calculem el mòdul:

$p subíndex o igual p$

$p subíndex 1 subíndex o fi subíndex més p subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual p subíndex 1 més p subíndex 2$

$m subíndex 1 per v subíndex 1 subíndex o fi subíndex més m subíndex 2 per v subíndex 2 subíndex o fi subíndex igual m subíndex 1 per v subíndex 1 més m subíndex 2 per v subíndex 2$

i si substituïm tenim:

$3 per 4 més 2 per 0 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2$

Ara amb aquesta equació i la del balanç energètic podem fer un sistema de dues equacions amb dues incògnites:

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 3 per 4 més 2 per 0 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 1 mig per 3 per 4 al quadrat més 1 mig per 2 per 0 al quadrat igual 1 mig per 3 per v subíndex 1 superíndex 2 més 1 mig per 2 per v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

$obre taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 12 igual 3 per v subíndex 1 més 2 per v subíndex 2 fi cel·la fila cel·la 24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més v subíndex 2 superíndex 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

Hi ha moltes maneres de resoldre aquets sistema, per exemple aillem v₂ de la primera equació i el substituïm en la segona:

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció$

i substituïm:

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més obre parèntesis fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis al quadrat$

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més fracció numerador 12 al quadrat més 3 al quadrat per v subíndex 1 superíndex 2 menys 2 per 12 per 3 per v subíndex 1 entre denominador 4 fi fracció$

$24 igual 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més fracció numerador 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1 entre denominador 4 fi fracció$

$4 per 24 igual 4 per 1 coma 5 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1$

$96 igual 6 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 més 9 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1$

$96 igual 15 per v subíndex 1 superíndex 2 més 144 menys 72 per v subíndex 1$

$15 per v subíndex 1 superíndex 2 menys 72 per v subíndex 1 més 48 igual 0$

Resolem d'equació de segon grau:

$v subíndex 1 igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 72 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 72 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 15 per 48 fi arrel entre denominador 2 per 15 fi fracció$

$v subíndex 1 igual fracció numerador 72 més-menys 48 entre denominador 30 fi fracció$

I les dues solucions són:

$S o l u c i ó espai 1 espai fletxa dreta espai v subíndex 1 igual espai 4 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat S o l u c i ó espai 2 espai fletxa dreta espai v subíndex 1 igual espai 0 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat$

La primera solució és trivial ja que correspon a la velocitat inicial del cos 1. Aquesta primera solució ens diu que si el primer cos continua igual sense canviar el segon cos continuarà quiet (no hi ha xoc) i per tant en conservarà l'energia i la quantitat de moviment.

En el nostre cas la solució correcta és la segona:

$envoltori caixa v subíndex 1 igual espai 0 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat fi envoltori$

i pel segon cos tenim:

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per v subíndex 1 entre denominador 2 fi fracció$

$v subíndex 2 igual fracció numerador 12 menys 3 per 0 coma 8 entre denominador 2 fi fracció$

$envoltori caixa v subíndex 2 igual espai 4 coma 8 espai m per s elevat a menys 1 fi elevat fi envoltori$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Q56