Précédent

La funció valor absolut

El valor absolut d'un nombre, és el valor sense signe, és a dir sempre positiu. Les funcions on intervé el valor absolut sempre tindran imatges positives.

Les podrem transformar en una funció definida a trossos de la següent manera:

g parenthèse gauche x parenthèse droite égal à trait vertical ouvert(e) f parenthèse gauche x parenthèse droite trait vertical fermé(e) égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule moins f parenthèse gauche x parenthèse droite espace s i espace f parenthèse gauche x parenthèse droite inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule espace espace espace f parenthèse gauche x parenthèse droite espace s i espace f parenthèse gauche x parenthèse droite supérieur ou égal à 0 fin de cellule fin de tableau fin

És a dir, cal mirar la funció que està dins del valor absolut. En els punts on aquesta és positiva, el valor absolut de la funció coincideix, per tant no hem de fer cap canvi. Però en els punts on és negatiu, la funció valor absolut li canvia el signe per transformar-la en positiu.

El primer que haurem d'estudiar amb les funcions d'aquests tipus, és el o els valors que anul·len la funció de dins del valor absolut i a partir d'aquí veure que passa als dos costats d'aquest punt.


Exemple

Fer el gràfic i un estudi complet de la següent funció i escriu-la com a funció definida a trossos.

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à trait vertical ouvert(e) x plus 5 trait vertical fermé(e)


Primer trobem el valor que anul·la la funció x+5=0, en aquest cas x=-5. Mirem (donant valors abans i després del 5) en quina regió la funció x+5 és positiva i en quina és negativa.
Per valors inferiors a -5 la funció és negativa i per valors més grans que -5 és positiva, per tant aquesta funció es pot escriure com a funció definida a trossos de la següent manera:

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à trait vertical ouvert(e) x plus 5 trait vertical fermé(e) égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule moins x moins 5 espace s i espace x inférieur à moins 5 fin de cellule ligne cellule espace espace espace x plus 5 espace s i espace x supérieur ou égal à moins 5 fin de cellule fin de tableau fin

Quin és el domini d'aquesta funció? En aquest cas tots els reals, perquè els dos trossos són polinòmics.

Per fer-ne el gràfic observem que els dos trossos corresponen a funcions polinòmiques de grau 1, per tant rectes.

Podem fer una taula de valors de per situar diversos punts del gràfic i unir-los (cal vigilar quin tros correspon a cada imatge).

x

-7

-6

-5

4

3

0

f(x)

2

1

0

1

2

5


Observem que la Imatge de la funció o rang és l'interval [0, +∞)

La funció decreix de -∞ a -5 i creix de -5 a +∞.

La funció presenta un mínim relatiu i absolut en el punt (-5, 0)

El punt de tall amb l'eix d'abscisses el trobem en (-5, 0) i el punt de tall amb l'eix d'ordenades el tenim en (0,5) (per trobar-lo cal trobar la imatge de 0 f(0)=0+5=5).

Aquesta funció no és parella, però sí que presenta una simetria respecte a la recta x=-5.




Précédent