Resum de continguts sobre funcions

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques I (Bloc 2) ~ gener 2020
Llibre:	Resum de continguts sobre funcions

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	divendres, 19 d’abril 2024, 04:14

Descripció

Resum

El concepte de funció

En contextos quotidians i científics ens trobem molt sovint amb la relació de variables: l'espai que recorre una partícula depèn del temps, la pressió de l'aigua del mar depèn de la profunditat, el preu que paguem per una carrera amb taxi depèn dels km recorreguts, ...

Anomenem funció a una relació de dependència entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera magnitud li correspon un únic valor de la segona.

La segona variable depèn del valor de la primera i d'aquí que la primera s'anomena variable independent i la segona variable dependent.

Hi ha moltes maneres d'expressar una funció, per exemple:

- - Mitjançant un enunciat
  - Mitjançant una taula
  - Mitjançant un gràfic
  - Mitjançant una expressió algebraica o fórmula

Imatges i antiimatges

Una funció relaciona dues variables. Per a cada valor de la variable independent x, existeix un únic valor de la variable dependent y.

envoltori caixa espai espai y igual f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai espai espai espai fi envoltori

y és la imatge de x per la funció f

x és una antiimatge de y per la funció f

Exemple 1

Donada la funció :

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x al quadrat menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció

Imatge de 2

$f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual fracció numerador 2 al quadrat menys 1 entre denominador 2 més 2 fi fracció igual fracció numerador 4 menys 1 entre denominador 4 fi fracció igual fracció 3 entre 4$

La imatge de 2 per la funció f és 3/4, i per tant la funció passa pel punt (2, 3/4).

I podem dir que la antiimatge de 3/4 és 2.

Antiimatge de 0

Per calcular la antiimatge de 0 per f, igualarem a 0 l'expressió i aïllarem la x.

$fracció numerador x al quadrat menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual 0$

Una fracció és 0, si ho és el numerador:

$x al quadrat menys 1 igual 0 per parèntesi esquerre x més 2 parèntesi dret x al quadrat menys 1 igual 0 espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual 1 espai espai espai espai espai espai x igual més-menys arrel quadrada de 1 espai espai espai espai espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta més-menys negreta 1 espai$

Per tant, el 0 té dues antiimatges: 1 i -1

$f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual 0 espai espai espai espai espai espai espai i espai espai espai espai espai espai f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual 0 espai$

i la funció passa pels punts (1,0) i (-1,0)

Antiimatge de -8

$fracció numerador x al quadrat menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual menys 8 x al quadrat menys 1 igual menys 8 per parèntesi esquerre x més 2 parèntesi dret x al quadrat menys 1 igual menys 8 x menys 16 x al quadrat més 8 x més 15 igual 0 x igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de 8 al quadrat menys 4 per 15 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de 64 menys 60 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de 4 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 8 més-menys 2 entre denominador 2 fi fracció igual taula fila cel·la punts suspensius inclinats cap amunt espai fracció numerador menys 10 entre denominador 2 fi fracció igual menys 5 fi cel·la fila cel·la punts suspensius inclinats cap avall fracció numerador menys 6 entre denominador 2 fi fracció igual menys 3 fi cel·la fi taula$

Per tant, -8 té dues antiimatges: -5 i 3

f parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret igual menys 8 espai espai espai espai espai espai espai i espai espai espai espai espai espai f parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret igual menys 8 espai

Domini

El domini d'una funció f el formen els valors de la variable independent x que tenen imatge per f. Els representem per Dom f.

És a dir, són els punts on té sentit definir la funció.

Els dominis s'expressen de diferents formes segons convingui: com a conjunt de punts o com a intervals de la recta real.

Càlcul del domini

Si tenim una funció definida de forma algebraica, és a dir com una fórmula, per calcular el seu domini haurem de trobar els valors reals on té sentit aplicar l'expressió algebraica. Bàsicament caldrà vigilar:

Si la funció és polinòmica $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual a subíndex n x elevat a n més... més a subíndex 1 x més a subíndex 0$ el domini estarà format per tots els nombres reals $normal nombres reals$
Si la funció és racional, és a dir és quocient de dos polinomis: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador P parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador Q parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció$ , el domini seran tots els valors reals excepte aquells que anul·len el denominador.
Si la funció té arrels amb índex parell $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel amb índex 2 n de g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi arrel$ , sabem que no està definides en els negatius, per tant caldrà trobar quins valors fan que el radicand sigui negatiu i treure'ls del domini. $D o m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual clau esquerra x espai barra vertical espai g parèntesi esquerre x parèntesi dret major o igual que 0 clau dreta$
Si la funció té una arrel amb índex senar, $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel amb índex 2 n més 1 de g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi arrel$ no té cap problema de definició. Per tant $D o m espai f espai igual espai normal nombres reals$ .
Si la funció és logarítmica (les treballarem més endavant) $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual log subíndex a parèntesi esquerre g parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret$ , tindrem que $D o m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual clau esquerra x espai barra vertical espai g parèntesi esquerre x parèntesi dret major que 0 clau dreta$
Per trobar el domini de funcions definides a trossos haurem de calcular el domini de cadascun dels trossos i unir-los. Cal tenir en compte en quina regió està definida cada tros.
Si la funció és l'operació de diverses funcions (suma, resta, multiplicació, etc) caldrà calcular el domini de cada terme i pel domini final s'hauran de tenir en compte totes les restriccions que surtin de cada tros.
Si la funció és composició de diversos tipus de funcions, s'haurà de vigilar que totes les components estiguin ben definides així com la composició final.
Si treballem amb una funció en un context, caldrà imposar també que tingui sentit la funció dins del context.

Recorregut

El recorregut o rang d'una funció f és el conjunt format per totes les imatges de f, és a dir són tots els valors y que són imatge d'alguna x.

El denotem $bold italic I bold italic m negreta espai bold italic f$

Gràficament la imatge o recorregut de f la formen tots els valors verticals del gràfic.

Exemples

A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció f(x)=x²-3

En tractar-se d'una funció polinòmica el domini està format per tots els nombres reals, és a dir: Dom f= R

Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a infinit (les branques seguirien creixent, tot i que aquí només en posem un tros), per tant Im f = [-3, +∞)

A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció a trossos.

Per trobar-ne el domini cal veure quins valors de l'eix horitzontal tenen imatge, hem assenyalat en color blau els punts que ho compleixen: Dom f= [-9,-5] U [-3,6]

Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a 6, per tant Im f = [-3, 6]

        A l'hora de calcular el domini i recorregut d'una funció, caldrà tenir en compte si la funció està definida en un context real i llavors restringir-los allà on aquest tingui sentit.

        Per exemple, en considerar la funció f(x)= 2x podríem dir que tant el domini com el recorregut d'aquesta funció són tots els reals.
        Ara bé, la funció que ens associa l'àrea d'un rectangle de base 2 en funció de l'altura, també seria f(x)=2x en canvi hauríem de pensar que tant el domini com el recorregut són els reals positius, doncs no té sentit pensar en una altura o àrea negatives.

Calculeu el domini de las funcions:

a) $bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta 342 negreta espai negreta més negreta 39 negreta espai bold italic x negreta menys negreta 3 bold italic x negreta ²$

f(x) és una funció polinòmica i per tant $D o m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual negreta nombres reals$ (tots els nombres reals).

b) $espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció negreta 1 entre negreta x espai espai espai$

El denominador és x

El denominador s'anul·la en x=0

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta 0 tanca claus$

c) $negreta espai negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x negreta menys negreta 2 entre denominador negreta x negreta més negreta 3 fi fracció negreta espai espai espai$

El denominador s'anul·la en:

$x més 3 igual 0 espai espai espai espai espai x igual menys 3$

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta menys negreta 3 tanca claus$

d) $negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 25 fi fracció espai espai espai$

Mirem on s'anul·la el denominador:

$x al quadrat menys 25 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual 25 espai espai espai espai espai espai espai espai x igual més-menys arrel quadrada de 25 igual més-menys 5$

$bold italic D subíndex negreta f negreta igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta més-menys negreta 5 tanca claus$

e) $espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x elevat a negreta 2 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 3 negreta x fi fracció negreta espai negreta espai negreta espai$

Mirem on s'anul·la el denominador:

$x al quadrat menys 3 x igual 0 x per parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret igual 0 espai espai fletxa doble dreta obre claus taula fila cel·la x igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la x menys 3 igual 0 espai espai fletxa dreta x igual 3 fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai$

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta 0 negreta coma negreta 3 tanca claus$

$negreta f negreta parèntesi dret espai negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta més negreta 1 fi fracció negreta espai negreta espai negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat més 1 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual menys 1 espai espai espai Aquesta espai equació espai no espai té espai solució espai espai espai espai espai espai espai bold italic D subíndex negreta f negreta igual negreta nombres reals$

g) $bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x negreta ² entre denominador negreta x negreta ² negreta més negreta 2 negreta x negreta menys negreta 3 fi fracció$

g(x) és una funció racional. Domini de la funció = R-{valors que anul·len el denominador}

Calculem doncs els valor s que anul·len el denominador:

$x ² més 2 x menys 3 igual 0 x igual fracció numerador menys 2 més-menys arrel quadrada de 4 menys 4 per 1 per parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret fi arrel entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 més-menys arrel quadrada de 16 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys 2 més-menys 4 entre denominador 2 fi fracció x subíndex 1 igual 1 x subíndex 2 igual menys 3$

Per tant: $D subíndex f igual normal nombres reals menys obre claus menys 3 coma 1 tanca claus$

h) $negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta 2 negreta x negreta menys negreta 5 fi arrel$

h(x) és una funció irracional d'índex parell, ja que l'arrel és quadrada.

Domini de la funció = {valors de "x" que fan que el radicand ≥ 0} Cal resoldre la inequació:

$2 x menys 5 major o igual que 0 2 x major o igual que 5 x major o igual que fracció 5 entre 2 x major o igual que 2.5 bold italic D subíndex negreta f negreta espai negreta igual negreta espai negreta claudàtor esquerre negreta 2 negreta. negreta 5 negreta espai negreta coma negreta espai negreta més negreta infinit negreta parèntesi dret$

$negreta i negreta parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual claudàtor esquerre 0 coma més infinit parèntesi dret espai espai espai$ podríem posar també $D subíndex f igual normal nombres reals elevat a més$

$bold italic j negreta parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de menys x fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual parèntesi esquerre menys infinit coma 0 claudàtor dret espai espai espai$ podríem posar també $D subíndex f igual normal nombres reals elevat a menys$

$bold italic k negreta parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x menys 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual claudàtor esquerre 1 coma més infinit parèntesi dret espai espai espai$

$negreta l negreta parèntesi dret negreta espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x al quadrat més 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

$negreta m negreta parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cúbica de x espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

n) $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x més 2 entre denominador parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre x més 3 parèntesi dret fi fracció$

f(x) és una funció racional, el domini serà tots els nombres excepte els que anul·len el dominador.
Trobem les solucions de l'equació (x-2)·(x+3)=0.

Tingueu en compte que perquè un producte sigui 0, ha de ser 0 un dels seus factors.

parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre x més 3 parèntesi dret igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai taula fila cel·la punts suspensius inclinats cap amunt espai espai x menys 2 igual 0 espai espai fletxa dreta espai x igual 2 fi cel·la fila cel·la punts suspensius inclinats cap avall espai x més 3 igual 0 espai espai fletxa dreta x igual menys 3 fi cel·la fi taula

Per tant,

bold italic D negreta igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta menys negreta 3 negreta coma negreta 2 tanca claus

o) $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual espai arrel cinquena de fracció numerador x més 1 entre denominador x menys 2 fi fracció fi arrel$

Com que l'índex n del radical és imparell, sempre es possible trobar la imatge de qualsevol nombre real (sigui positiu o negatiu).

Només hem de tenir en compte que sigui del domini de $\frac{x+1}{x-2}$

Per tant,

bold italic D negreta igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta 2 tanca claus

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x menys 5 fi arrel

Com que l'índex n del radical és parell, cal que el radicant sigui més gran o igual que 0.
Per tant el domini de f, és el conjunt solució de la inequació

x menys 5 major o igual que 0

x menys 5 major o igual que 0 espai espai espai fletxa dreta espai x major o igual que 5

Expressat en forma d'interval:

bold italic D negreta igual negreta claudàtor esquerre negreta 5 negreta coma negreta més negreta infinit negreta parèntesi dret

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de fracció numerador 3 entre denominador x menys 5 fi fracció fi arrel

En aquest cas per tal que el radicant sigui positiu també, com en el cas anterior, cal que $x menys 5 major o igual que 0$

però com que a més està en el denominador, $x menys 5 no igual 0$

Per tant ha de ser $x menys 5 major que 0 espai espai espai fletxa dreta espai espai x major que 5$

Expressat en forma d'interval:

$bold italic D negreta igual negreta parèntesi esquerre negreta 5 negreta coma negreta més negreta infinit negreta parèntesi dret$

(fixeu-vos la diferència de l'interval de l'esquerra tancat en l'exercici anterior, i obert en aquest exercici)

Dominis a les funcions definides a trossos

En una funció a trossos hi ha diferents expressions. Per calcular la imatge per un valor de la x s'utilitza una o altra expressió depenent de les condicions de cadascuna. Llavors el domini està format per tot el conjunt de valors de x els quals tenen imatge

Exemple 1

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula fila cel·la taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x menys 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai espai espai x menor o igual que menys 3 fi cel·la fila cel·la fracció numerador 1 entre denominador x més 2 fi fracció espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai menys 3 menor que x menor que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fila cel·la x al quadrat més 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai 0 menor que x menor o igual que 1 fi cel·la fila cel·la 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai espai espai espai espai espai x major o igual que 3 fi cel·la fi taula tanca$

té 4 trossos.

Intentem buscar imatges per alguns valors de x

f(-4)=(-4)-1=-5 (expressió 1a ja que -4≤-3)

f(-3)=(-3)-1=-4 (expressió 1a ja que -3≤-3)

f(-1)=1/(-1+2) =1 (expressió 2a ja que -3<-1<0)

f(-2)= 1/(-2+2)=1/0 que NO EXISTEIX (expressió 2a ja que -3<-2<0)

f(0)=NO EXISTEIX ja que no compleix cap de les 4 condicions

f(0'5)=(0'5)²+2=2'25 (expressió 3a ja que 0<0'5≤1)

f(1)=(1)²+2=3 (expressió 3a ja que 0<1≤1)

f(3)=5 (expressió 4a ja que 3≥3)

f(4'2)=5 (expressió 4a ja que 4'2≥3)

En definitiva estudiant cadascun dels trossos tenim:

- Si x≤ -3 llavors té imatge, la funció és polinòmica i es calcula substituint en l'expressió $x menys 1$
- Si $x pertany parèntesi esquerre menys 3 coma 0 parèntesi dret$ la funció és racional. Llavors té imatge, llevat del cas x= -2, valor on s'anul·la el denominador i es calcula substituint en l'expressió $fracció numerador 1 entre denominador x més 2 fi fracció$ .
- Si $x pertany parèntesi esquerre 0 coma 1 claudàtor dret$ llavors té imatge ( la funció és polinòmica) i es calcula substituint en l'expressió $x al quadrat més 2$
- Si x ≥ 3 llavors té imatge i val 5 (la funció és constant)

I per tant el $envoltori caixa D o m parèntesi esquerre f parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys infinit coma menys 2 parèntesi dret espai unió espai parèntesi esquerre menys 2 coma 0 parèntesi dret espai unió espai parèntesi esquerre 0 coma 1 claudàtor dret espai unió espai claudàtor esquerre 3 coma més infinit parèntesi dret fi envoltori$

Exemple 2:

Exemple 3

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador x entre denominador x menys 3 fi fracció espai s i espai x menor que 0 fi cel·la fila cel·la x més 1 espai espai espai s i espai x major o igual que 2 fi cel·la fi taula espai tanca$

Aquesta funció té dos trossos diferenciats i fixa't que hi ha un conjunt de punts on no està definida: els valors entre 0 i 2. Perfer imatges de valors negatius ens haurem de mirar el tros de dalt i pels valors més grans o igual que 2 haurem de mirar la funció de baix i pels valors entre 0 i 2 no té expressió.

El primer tros és racional. En principi hem d'evitar dividir per 0. El denominador s'anul·la si x= 3, però en ser un valor positiu la seva imatge es faria aplicant la definició del segon tros, per tant el primer tros està ben definida per tots els negatius.

El segon tros és polinòmic i per tant no té cap problema de definició, està ben definida per tots els valors més grans o iguals a 0.

En definitiva l'únic problema de definició ve donat per com ens han definit la funció. Tenim doncs que $envoltori caixa D o m espai espai f espai igual espai normal nombres reals menys claudàtor esquerre 0 coma 2 parèntesi dret igual parèntesi esquerre menys infinit coma 0 parèntesi dret espai unió espai claudàtor esquerre 2 coma més infinit parèntesi dret fi envoltori$

Operacions amb funcions

Amb el conjunt de totes les funcions de variable real, es poden definir les operacions aritmètiques bàsiques. Així, donades dues funcions

f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai i espai g parèntesi esquerre x parèntesi dret

, es defineixen:

Suma i resta de funcions

$parèntesi esquerre f més g parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x parèntesi dret més g parèntesi esquerre x parèntesi dret$ , el seu domini serà $D o m parèntesi esquerre f més g parèntesi dret igual D o m f espai intersecció espai D o m g$
$parèntesi esquerre f menys g parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys g parèntesi esquerre x parèntesi dret$ , el seu domini serà $D o m parèntesi esquerre f menys g parèntesi dret igual D o m f espai intersecció espai D o m g$

Producte de funcions

$parèntesi esquerre f per g parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x parèntesi dret per g parèntesi esquerre x parèntesi dret$ , el seu domini serà $D o m parèntesi esquerre f per g parèntesi dret igual D o m f espai intersecció espai D o m g$

Quocient de funcions

$obre parèntesis fracció f entre g tanca parèntesis parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció$ , el seu domini serà $D o m parèntesi esquerre fracció f entre g parèntesi dret igual D o m f espai intersecció espai D o m g menys obre claus x pertany normal nombres reals barra vertical g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 tanca claus$

Composició de funcions

A més de les operacions aritmètiques, tenim una operació diferent que mereix una especial atenció: la composició de funcions.

Donades dues funcions f(x) i g(x) definim la funció f composta amb g com la funció que resulta d'aplicar primer la funció f i a la imatge resultant aplicar-li g. Aquesta composició es notarà matemàticament $bold italic g negreta operador d ' anell bold italic f$

Atenció! observa que es llegeix primer la funció que està escrita més a la dreta, perquè és la que s'aplica en primer lloc.

El domini de la funció composició estarà formada per tots els punts del domini de f que tenen la imatge dins del domini de g.

$D o m parèntesi esquerre g operador d ' anell f parèntesi dret igual clau esquerra x pertany D o m f barra vertical espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret pertany D o m espai g clau dreta$

Cal tenim en compte que aquesta operació NO és commutativa, és a dir: en general no és el mateix f composta amb g que g composta amb f.

$f operador d ' anell g no igual g operador d ' anell f$

Exemple

Considerem $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al quadrat menys 1$ i $g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x entre denominador x més 2 fi fracció$

Llavors com és la funció $g operador d ' anell f ?$

Apliquem la definició: $parèntesi esquerre g operador d ' anell f parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual g parèntesi esquerre f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual g parèntesi esquerre x ² menys 1 parèntesi dret igual fracció numerador x al quadrat menys 1 entre denominador x al quadrat més 1 fi fracció$

$espai espai espai espai espai espai espai espai espai f espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai g x menys menys menys major que x ² menys 1 menys menys menys menys major que fracció numerador parèntesi esquerre x ² menys 1 parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre x ² menys 1 parèntesi dret més 2 fi fracció igual fracció numerador x ² menys 1 entre denominador x ² més 1 fi fracció$

Observem que hem fet:

primer apliquem f a x: $x pila menys menys menys menys menys major que x ² menys 1 amb f a sobre$
ara cal aplicar g però a a la variable x²-1 , per tant cal canviar la x de la funció g per x² -1 i fer les operacions que la g indica.

Feu ara al quadern $f operador d ' anell g.$ Dona el mateix que abans?

Funció inversa

La funció inversa de f respecte a la composició és l'única funció que, en cas d'existir, verifica

$f operador d ' anell f elevat a menys 1 fi elevat igual f elevat a menys 1 fi elevat operador d ' anell f igual i d$

Observeu que la funció inversa la denotem $f elevat a menys 1 fi elevat$

És a dir:

$parèntesi esquerre f operador d ' anell f elevat a menys 1 fi elevat parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual parèntesi esquerre f elevat a menys 1 fi elevat operador d ' anell f parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual i d parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x$

Fixem-nos que en cas d'existir la funció inversa, si apliquem una darrera l'altra la funció amb la seva inversa ens quedem com al principi.

No sempre existeix la funció inversa, només per a les funcions injectives.

Característiques importants de la funció inversa:

el domini de la funció inversa $f elevat a menys 1 fi elevat$ coincideix amb la Imatge de la funció $f$
la imatge o recorregut de la funció $f elevat a menys 1 fi elevat$ coincideix amb el domini de la funció $f elevat a blanc$
les gràfiques respectives d'una funció i la seva inversa són simètriques respecte a la recta y=x (bisectriu del primer i tercer quadrant)

Com es calcula la funció inversa?

Què faremper calcular la funció inversa d'una funció f si en coneixem la seva expressió analítica?

Podem seguir aquests passos:

Igualem l'expressió de f a y.
Aïllem la x de l'equació anterior en funció de y.
Canviem la y per la x i ja tenim la inversa.

Vegem un exemple:

Considerem la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x més 1$

Igualem l'expressió a y: $2 x més 1 igual y$
Aïllem la x en funció de y: $x igual fracció numerador y menys 1 entre denominador 2 fi fracció$
Canviem la x per la y i li diem f⁻¹ a l'expressió resultant: $f elevat a ⁻ 1 fi elevat parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x menys 1 entre denominador 2 fi fracció$

Per provar que hem trobat correctament la inversa farem les dues composicions i veurem que donen la identitat de x.

$parèntesi esquerre f elevat a menys 1 fi elevat operador d ' anell f parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f elevat a menys 1 fi elevat parèntesi esquerre f parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret igual f elevat a menys 1 fi elevat parèntesi esquerre 2 x més 1 parèntesi dret igual fracció numerador parèntesi esquerre 2 x més ratllat diagonal cap avall 1 parèntesi dret menys ratllat diagonal cap avall 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 fi fracció igual x parèntesi esquerre f operador d ' anell f elevat a menys 1 fi elevat parèntesi dret parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre f elevat a menys 1 fi elevat parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret igual f parèntesi esquerre fracció numerador x menys 1 entre denominador 2 fi fracció parèntesi dret igual ratllat diagonal cap avall 2 per parèntesi esquerre fracció numerador x menys 1 entre denominador ratllat diagonal cap avall 2 fi fracció parèntesi dret més 1 igual x menys 1 més 1 igual x$

Característiques de les funcions

En estudiar una funció, a més de conèixer-ne el domini i recorregut, hi ha altres característiques d'interès i que ens donaran una idea de com és la seva gràfica.

Hi ha molts programes que fan gràfiques de funcions, per exemple la calculadora wiris i el programa Geogebra.

Manual bàsic de Geogebra per dibuixar gràfics de funcions.

Funcions periòdiques

Una funció és periòdica de període T, si per tot punt del domini es verifica f (x+T)=f(x).

En aquest cas el gràfic de la funció va repetint la seva forma.

Funcions parelles o imparelles (simetries)

Direm que una funció és parella si per a tot punt del domini es verifica que f(-x)=f(x).

Les gràfiques de les funcions parelles són simètriques respecte a l'eix d'ordenades.

Direm que una funció és senar, si per a tot punt del domini es verifica que f(-x)=- f(x)

Les gràfiques de les funcions senars són simètriques respecte a l'origen de coordenades.


Parella	Senar

Punts de tall amb els eixos

Són aquells punts on el gràfic de la funció talla amb els eixos de coordenades.

Punts de tall amb l'eix d'abscisses (de les x)

Seran punts de tipus (a,0). Per calcular-los igualarem la funció a 0 i en buscarem les possibles solucions (si n'hi ha) de l'equació que en resulta.

Pot haver-n'hi o no i també pot haver-n'hi més d'un.

Exemple

Donada la funció f(x)= x² - x - 2 , per trobar els seus punts de tall amb l'eix de les x, farem:

x² -x - 2 = 0 -----> x= -1 i x= 2

Per tant la funció talla a l'eix d'abscisses en dos punts A=(-1, 0) i B=(2, 0)

Punts de tall amb l'eix d'ordenades (de les y)

Seran punts de tipus (0,b). Per calcular-los només cal calcular la imatge del 0 (sempre que el 0 sigui del domini de la funció). Una funció només pot tallar l'eix vertical en un sol punt, perquè si 0 pertany al domini de f, per definició de funció cada punt té una única imatge.

Exemple

Seguint amb la funció anterior, la imatge del 0 serà f(0)= 0- 0 -2= -2

Per tant el punt de tall és C=(0, -2)

Monotonia i extrems

Una funció monòtona és creixent o decreixent.

Una funció és creixent en un interval, si sempre que x₁ < x₂→f( x₁ ) $menor o igual que$ f( x₂). És a dir si augmentem el valor de les x, augmenten també les imatges. Observem que les imatges poden ser més grans o iguals.

Una funció és estrictament creixent en un interval si sempre que x₁ < x₂→f( x₁ )<f( x₂).
Una funció és decreixent en un interval si sempre que x₁ < x₂→f( x₁ ) $major o igual que$ f( x₂). És a dir en augmentar el valor de les x, el valor de les imatges disminueix. Observem que les imatges poden ser més petites o iguals.
Una funció és estrictament decreixent en un interval si sempre que x₁ < x₂→f( x₁ )> f( x₂). És a dir en augmentar el valor de les x, el valor de les imatges disminueix de forma estricta.

Màxims i mínims

L'estudi de la monotonia d'una funció portarà a trobar els possibles màxims i mínims.

Una funció té un màxim relatiu en un punt a, si en un entorn d'aquest punt les imatges són totes més petites o iguals que f(a). Això matemàticament ho escriurem : f(a) $major o igual que$ f(x) per a tot x de l'entorn de a.

Una funció té un mínim relatiu en un punt a, si en un entorn d'aquest punt les imatges són totes més grans o iguals que f(a). Això matemàticament ho escriurem : f(a) $menor o igual que$ f(x) per a tot x de l'entorn de a.

Observa en aquesta imatge que si tenim un màxim relatiu en el punt (a, f(a)) la funció creix a l'esquerra de a i decreix a la seva dreta. Si el que tenim és un mínim relatiu, passa el contrari: la funció a l'esquerra del punt ve decreixent i després passa a créixer.

Atenció! Si en un exercici ens demanin els intervals de creixement i decreixement, no ho haurem d'assenyalar damunt del gràfic, sinó que haurem de dir per quins valors de x (del domini) la funció creix o decreix i ho expressarem en forma d'intervals. Veieu els exercicis resolts dels capítols posteriors.

Funcions fitades

Una funció f està fitada superiorment si hi ha un nombre k tal que per a tot valor x del domini de f es verifica que $f parèntesi esquerre x parèntesi dret menor o igual que k$ .

Una funció f està fitada inferiorment si hi ha un nombre k tal que per a tot valor x del domini de f es verifica que $f parèntesi esquerre x parèntesi dret major o igual que k$ .

Les funcions no fitades superiorment (o inferiorment) tenen imatges tan grans (o tan petites) com vulguem.

Exercici

Observeu el gràfic següent, d'una funció polinòmica de tercer grau i indiqueu les qüestions següents:

a) Calculeu la imatge de x = 1, i de x = 2

b) Calculeu les coordenades dels punts de tall de la funció amb l'eix X.

c) Calculeu les coordenades dels punts de tall de la funció amb l'eix Y.

d) Doneu les coordenades del màxim i del mínim relatius de la funció

e) Digueu en quins intervals la funció creix i en quins decreix.

Forma 1

En aquest problema coneixem la gràfica de la funció, per tant podem deduir totes les respostes simplement observant la gràfica

a) Observant la gràfica:

f(1) =0

f(2) =4

b) Punts de tall (-2,0) i (1,0). Són els punts en els que la gràfica toca l'eix X

c) Punts de tall (0,2) . És el punt en el que la gràfica toca l'eix Y

d) Màxim (-1,4) i Mínim (1,0)

e) La funció creix a l'interval $parèntesi esquerre menys infinit coma espai menys 1 parèntesi dret$ i a $parèntesi esquerre espai 1 coma espai més infinit parèntesi dret$ i decreix en els punts de l'interval $parèntesi esquerre menys 1 coma espai 1 parèntesi dret$ . (Observeu que els intervals es donen en funció de la x)

Forma 2

Si de la funció només es coneix la seva expressió algebraica ( y= x³-3x+2) i no la seva gràfica, podríem trobar algunes de les respostes.

a) f(1) = 1³- 3·(1) + 2 = 0

f(2) = 2³- 3·(2) + 2 = 4

b) Punts de tall amb l'eix X . Igualem a 0 la funció i en busquem les arrels. En tractar-se d'una equació de grau 3 cal aplicar el mecanisme de Ruffini.

$x al cub menys 3 x més 2 espai igual 0 F e n t espai R u f f i n i espai dos punts taula fila cel·la taula fila blank 1 0 cel·la menys 3 fi cel·la 2 fila 1 blank 1 1 cel·la menys 2 fi cel·la fila blank 1 1 cel·la menys 2 fi cel·la 0 fi taula fi cel·la fi taula taula fila blank 1 1 cel·la menys 2 fi cel·la fila 1 blank 1 2 fila blank 1 2 0 fi taula taula fila blank 1 2 fila cel·la menys 2 fi cel·la blank cel·la menys 2 fi cel·la fila blank 1 0 fi taula$

I s'obté com a solucions x=1 doble, i x=-2. Per tant els punts de tall són (1,0) i (-2,0)

d) Punts de tall amb l'eix Y, només caldria calcular la imatge de 0 per la funció f: f(0)

$f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual 0 al cub menys 3 parèntesi esquerre 0 parèntesi dret més 2 espai igual 2 P u n t espai d e espai t a l l espai parèntesi esquerre 0 coma 2 parèntesi dret$

d) e) Els màxims i mínims i els intervals de creixement es poden trobar usant la derivada, concepte que treballaràs a segon.

Exercici

Una empresa de lloguer de cotxes ofereix dues modalitats de lloguer amb dos tipus de tarifes:
TARIFA A: 35€ per dia sense límit de km
TARIFA B: 10€ per dia i 0,20€ per km recorregut
Un turista vol llogar un cotxe per una setmana, a partir de quants km l'interessa una o l'altra modalitat?

Resolució

La solució es pot trobar de diferents formes, però una d'elles, seria fer una gràfica de cada una de les situacions, i en els mateixos eixos fet que ens permetrà fer comparacions.

El temps de lloguer és una setmana, per tant les variables a relacionar són x=km recorreguts i y=€ (preu)

Farem una taula de valors que després representarem en us eixos de coordenades.

Tarifa A			Tarifa B

x(km)	y(€)	x(km)	y(€)
200 km	35·7 =245€	200 km	10·7+0,2·200=110 €
500 km	35·7 =245€	500 km	10·7+0,2·500=170 €
1000 km	35·7 =245€	1000 km	10·7+0,2·1000=270 €
2000 km	35·7 =245€	2000 km	10·7+0,2·2000=470 €
3000km	35·7 =245€	3000 km	10·7+0,2·3000=670 €
x km	y=245	x km	y=70+0,2·x €

Els valors de "x" els hem triat a l'atzar. Però ens permeten observar que la resposta estarà entre 500 km i 1000km. Provant amb valors entre 500 i 1000 trobarien el nombre de Km a partir dels qual podem deduir quina tarifa és més interessant. A la darrera fila de la taula hem escrit l'expressió algebraica de les funcions

Per calcular exactament aquests km , sens e anar provant, cal resoldre els sistema format per les dues equacions algebraiques de les funcions:

la primera és constant, val sempre 245 independentment dels km recorreguts
la segona, és una funció lineal.

Per veure on es tallen les dues funcions resolem el sistema format per les dues expressions.

$obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la y igual 245 fi cel·la fila cel·la y igual 70 espai més espai 0 coma 20 espai x fi cel·la fi taula tanca 245 espai igual espai 70 espai més espai 0 coma 20 espai x 245 menys 70 igual espai 0 coma 20 espai x 175 espai igual espai 0 coma 20 espai x fracció numerador 175 entre denominador 0 coma 20 fi fracció igual x x igual 875 espai k m$

La interpretació d'aquest càlcul és la següent:

Si el client fa més de 875 km, l'interessa la tarifa A (gràfic horitzontal)

SI el client fa exactament 875 km, les dues tarifes representarien el mateix cost.

Si el client fa menys de 875 km, l'interessa més la tarifa B (gràfic oblic)

Gràfica:

Tipus de funcions

Ens trobarem amb molts tipus de funcions.

Segons la seva expressió algebraica en destaquen:

funcions polinòmiques (grau 1, grau 2, grau superior)
funcions racionals o algebraiques.
funcions irracionals
funcions exponencials (les veurem amb detall en el lliurament 2)
funcions logarítmiques (les veurem amb detall en el lliurament 2)
funcions trigonomètriques
funcions definides a trossos: valor absolut,...
....

Funcions polinòmiques

Un dels tipus més senzills de funcions són les funcions polinòmiques, és a dir les que tenen expressió algebraica de tipus: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual a subíndex n x elevat a n més a subíndex n menys 1 fi subíndex x elevat a n menys 1 fi elevat més..... més a subíndex 1 x més a subíndex 0$ amb $a subíndex i pertany normal nombres reals espai i espai n major que 0$ .

El domini d'una funció polinòmica de qualsevol grau és sempre tot R.

Detallarem característiques de les funcions polinòmiques de grau 1 i de grau 2, tot i que també és interessant estudiar i representar funcions polinòmiques de grau superior a 2.

Polinomis de grau 1, rectes

Les funcions que tenen per gràfica una recta són de tipus f(x)=y=mx+n , per tant són funcions polinòmiques de grau 1. Aquestes funcions es diuen funcions afins.

El Domf= R i el recorregut també, és a dir Imf=R.

La m és el pendent de la recta i ens indica la inclinació d'aquesta i la velocitat de creixement.

Si la m≥0 la recta és creixent

Si la m≤0 la recta és decreixent

La n es diu ordenada a l'origen i ens indica el punt de tall de la recta amb l'eix vertical (de les y)

En el cas que la n=0 , la recta té equació f(x)=y=mx , aquestes funcions es diuen funcions lineals i tenen la peculiaritat que passen totes elles per l'origen de coordenades. Aquest tipus de funcions, que constitueixen un cas particular de funcions afins modelitzen les situacions de proporcionalitat directa que sorgeixen molt sovint a la vida quotidiana.

Un altre cas particular de funció afí es dona si la m=0. La funció queda de tipus f(x)=y=n i en aquest cas la funció és constant, sempre val el mateix, no depèn de x i el seu gràfic és horitzontal.

Si coneixem l'expressió d'aquestes funcions per dibuixar-ne el gràfic farem una taula de valors (tot i que amb 2 en tenim prou millor fer-ne 3 o 4 per garantir que no ens hem equivocat). Situem els punts als eixos coordenats i els unim formant una recta.

Exemple

y=3x+1		y=–2x		y= 3
x	y	x	y	x	y
-2	-5	-2	4	-2	3
-1	-2	-1	2	-1	3
0	1	0	0	0	3
1	4	1	-2	1	3
2	7	2	-4	2	3

Es recomana llegir atentament el document:

Funció que té per gràfica una recta

Cliqueu després damunt d'aquesta imatge per accedir a un applet fet amb Geogebra per Pep Bujosa. En moure els punts lliscants a i b podreu explorar com varia la gràfica de la recta en fer variar el pendent i l'ordenada a l'origen. Quines conclusions traieu després d'aquest estudi?

FUNCIONS QUADRÀTIQUES

L'expressió algebraica d'una funció quadràtica és un polinomi de grau 2:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic b bold italic x negreta més bold italic c$ amb a≠ 0

Com totes les funcions polinòmiques el dom està format per tots els nombres reals R

La gràfica és una paràbola.

Gràfica d'una paràbola.

Per fer el gràfic d'una paràbola trobem els seus punts més significatius:

- Talls amb l'eix x La paràbola talla a l'eix x en les solucions de l'equació $a x al quadrat més b x més c igual 0$

- Tall amb l'eix y (0,f(0))

- Vèrtex La coordenada x del vèrtex és $x igual menys fracció numerador b entre denominador 2 a fi fracció$

Per trobar la coordenada y, substituïm aquest valor de x en ax²+bx+c

Vèrtex $obre parèntesis menys fracció numerador b entre denominador 2 a fi fracció coma espai f obre parèntesis menys fracció numerador b entre denominador 2 a fi fracció tanca parèntesis tanca parèntesis$

- Si $a major que 0 espai espai fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap amunt

Si $a menor que 0 espai espai fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap avall

Gràfic de la paràbola $bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 3 bold italic x negreta menys negreta 4$

- Talls amb l'eix x

$x al quadrat menys 3 x menys 4 igual 0 espai x igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 1 per parèntesi esquerre menys 4 parèntesi dret fi arrel entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció numerador 3 més-menys arrel quadrada de 9 més 16 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 3 més-menys 5 entre denominador 2 fi fracció igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció 8 entre 2 igual 4 fi cel·la fila cel·la fracció numerador menys 2 entre denominador 2 fi fracció igual menys 1 fi cel·la fi taula tanca$

Talls amb l'eix x: $negreta parèntesi esquerre negreta 4 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta coma negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta espai$

- Tall amb l'eix y

$f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual 0 al quadrat menys 3 per 0 menys 4 igual menys 4$

Tall amb l'eix y: $negreta parèntesi esquerre negreta 0 negreta coma negreta menys negreta 4 negreta parèntesi dret$

- Vèrtex

$x igual menys fracció numerador b entre denominador 2 a fi fracció igual menys fracció numerador menys 3 entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció 3 entre 2$

$y igual f obre parèntesis fracció 3 entre 2 tanca parèntesis igual obre parèntesis fracció 3 entre 2 tanca parèntesis al quadrat menys 3 per fracció 3 entre 2 menys 4 igual fracció 9 entre 4 menys fracció 9 entre 2 menys 4 igual menys fracció 25 entre 4$

Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

Vèrtex $obre parèntesis fracció negreta 3 entre negreta 2 negreta coma negreta menys fracció negreta 25 entre negreta 4 tanca parèntesis$

- Gràfica

Observació:

Si el coeficient de la x²és positiu $fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap amunt

Si el coeficient de la x²és negatiu $fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap avall

Gràfic de la paràbola $bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic x elevat a negreta 2 negreta més negreta 3 bold italic x$

- Talls amb l'eix x

$menys x al quadrat més 3 x igual 0$

Per resoldre aquesta equació de segon grau incompleta no apliquem la fórmula de l'equació de segon grau

Ho fem més senzill extraient factor comú x:

$x per parèntesi esquerre menys x més 3 parèntesi dret igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai espai x igual 0 espai espai espai o espai espai espai menys x més 3 igual 0 espai espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai x igual 0 espai espai espai espai espai o espai espai espai espai espai x igual 3$

Talls amb l'eix x: $negreta parèntesi esquerre negreta 0 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta coma negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 3 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret negreta espai$

- Tall amb l'eix y

$f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual menys 0 al quadrat més 3 per 0 igual 0$

Tall amb l'eix y: $negreta parèntesi esquerre negreta 0 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret$

- Vèrtex

$x igual menys fracció numerador b entre denominador 2 a fi fracció igual menys fracció numerador menys 3 entre denominador 2 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret fi fracció igual fracció 3 entre 2$

Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

$y igual f obre parèntesis fracció 3 entre 2 tanca parèntesis igual menys obre parèntesis fracció 3 entre 2 tanca parèntesis al quadrat més 3 per fracció 3 entre 2 igual menys fracció 9 entre 4 més fracció 9 entre 2 igual fracció 9 entre 4$

Vèrtex $obre parèntesis fracció negreta 3 entre negreta 2 negreta coma fracció negreta 9 entre negreta 4 tanca parèntesis$

- Gràfica

Observació:

Si el coeficient de la x²és positiu $fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap amunt

Si el coeficient de la x²és negatiu $fletxa doble dreta$ la paràbola "mira" cap avall

L'evolució de les accions d'una empresa, va seguir , durant l'any passat, aproximadament aquesta funció:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic t negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys negreta 30 bold italic t elevat a negreta 2 negreta més negreta 240 bold italic t negreta menys negreta 210$

on t és el temps en mesos (0≤t≤12)

f(t) la cotització de les accions en euros.

a) Dibuixa la gràfica.

Com que es tracta d'una paràbola, trobem:

Talls amb l'eix x:

$menys 30 t al quadrat més 240 t menys 210 igual 0$

Podem dividir tota l'equació entre 30:

$menys t al quadrat més 8 t menys 7 igual 0$

$estil mida 14px t igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 8 parèntesi dret al quadrat menys 4 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 7 parèntesi dret fi arrel entre denominador 2 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret fi fracció igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de 64 menys 28 fi arrel entre denominador menys 2 fi fracció igual fracció numerador menys 8 més-menys arrel quadrada de 36 entre denominador menys 2 fi fracció igual espai espai espai espai espai espai fracció numerador menys 8 més-menys 6 entre denominador menys 2 fi fracció igual taula fila cel·la punts suspensius inclinats cap amunt fracció numerador menys 8 més 6 entre denominador menys 2 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador menys 2 fi fracció igual 1 fi cel·la fila cel·la punts suspensius inclinats cap avall fracció numerador menys 8 menys 6 entre denominador menys 2 fi fracció igual fracció numerador menys 14 entre denominador menys 2 fi fracció igual 7 fi cel·la fi taula fi estil$

Punts de tall amb l'eix x: (1,0), (7,0)

Tall amb l'eix y: (0, -210)

Vèrtex:

$estil mida 14px obre parèntesis fracció numerador menys b entre denominador 2 a fi fracció coma espai espai f obre parèntesis fracció numerador menys b entre denominador 2 a fi fracció tanca parèntesis tanca parèntesis fi estil$

$estil mida 14px x subíndex v igual fracció numerador menys b entre denominador 2 a fi fracció igual fracció numerador menys 240 entre denominador 2 per parèntesi esquerre menys 30 parèntesi dret fi fracció igual 4 y subíndex v igual menys 30 per parèntesi esquerre 4 parèntesi dret al quadrat espai més 240 per espai fi parèntesi esquerre 4 parèntesi dret espai menys 210 espai igual 270 fi estil$

V(4, 270)

b) En quin mes es va assolir la màxima cotització, i quina va ser aquesta cotització?

En funcions quadràtiques l'extrem (màxim o mínim) s'assoleix en el vèrtex de la paràbola.

En aquest cas, el màxim és el vèrtex de la paràbola, que ja ho hem trobat en el'apartat anterior.

Per tant: la màxima cotització s'assoleix en el mes 4 i és de 270 €.

Funcions racionals

Són aquelles que tenen com a expressió algebraica el quocient de dos polinomis

$f\left(x\right)= \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

El domini d'aquestes funcions està format per R–{x| Q(x)=0}

És a dir, el domini són tots els valors reals menys aquells que anul·len el denominador. Per calcular els zeros del polinomi del denominador caldrà recordar les tècniques treballades al primer bloc de la matèria: equacions de grau 1, equacions de grau 2, Ruffini...(Podeu repassar-ho a les unitats 1 i 2 del llibre de suport recomanat).

Un cas particular d'aquestes funcions són les funcions de proporcionalitat inversa $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció k entre x$ amb k una constant. La seva gràfica és una hipèrbola.

Cliqueu damunt la imatge i accedireu a un applet fet amb Geogebra per Juli Jurado de la funció de proporcionalitat inversa $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció k entre x$ . Aneu movent la k, des de -4 fins a 4. Què observeu?

Exemples

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x ³ menys x ² més 1 entre denominador x menys 3 fi fracció$ el domini seria en aquest cas R – {3} ja que x-3=0---->x=3

$g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x ³ menys x ² més 1 entre denominador x al quadrat més 1 fi fracció$ el domini seria tot R, perquè en aquest cas el denominador no s'anul·la mai. x²+1=0---->x²= -1 i això no té solució en el conjunt de nombres reals.
$h parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x ³ menys x ² més 1 entre denominador x al cub menys x fi fracció$ el domini seria tot R – {-1, 0, 1}, perquè en aquest cas el denominador s'anul·la en aquests tres punts: $x ³ menys x igual x parèntesi esquerre x ² menys 1 parèntesi dret igual x per parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret per parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret$

A la següent imatge podeu veure els gràfics de les tres funcions anteriors. Observeu en el dibuix que el domini calculat es correspon amb el que veiem al gràfic.

A partir dels gràfics, esbrineu quina seria la Imatge o recorregut de cadascuna de les tres funcions.

Funcions irracionals

Són aquelles en que la x es troba sota el signe de radical.

Ens limitarem a estudiar les que son de tipus

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel n-èsima de g parèntesi esquerre x parèntesi dret fi arrel$ amb $g parèntesi esquerre x parèntesi dret$ una funció racional.

A l'hora de calcular el domini cal tenir en compte:

Si la n és parell $D o m espai f igual obre claus x pertany D o m espai g barra vertical g parèntesi esquerre x parèntesi dret major o igual que 0 tanca claus$ (per calcular-ho caldrà resoldre inequacions)

Si la n és imparell $D o m espai f igual espai D o m espai g$

Exemples

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cúbica de x més 2 fi arrel$ el domini és tot R perquè l'índex és senar el la funció de dins del radicand és polinòmica, per tant no té problemes de domini .

$h parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel amb índex blanc de x més 2 fi arrel$ en tenir índex parell, el domini estarà format pels punts que x+2 ≥0, és a dir x ≥-2, els reals més grans o iguals a -2. Dom h =[-2, +∞)

A la imatge anterior podeu veure els gràfics de les dues funcions d'exemple i comprovar els dominis que hem calculat analíticament. A partir dels gràfics deduïu-ne el rang o imatge de cadascuna.

Funcions trigonomètriques

Les funcions trigonomètriques assignen al valor d'un angle (expressat en radians) el valor d'una raó trigonomètrica.

Funcions: sinus, cosinus i tangent

En molts moviments ondulatoris aquestes funcions tenen una gran importància.

Funcions: secant, cosecant i cotangent

Aquestes són les funcions inverses (respecte a la multiplicació) de les anteriors. En el quadre en podeu veure les característiques principals.

Tot i que en general quan representem funcions trigonomètriques mesurem els angles en radiants, es podria fer amb graus, només hauríem d'ajustar-ho a l'eix de les x.

Exemple

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual sin espai x$

Funcions definides a trossos

Diem que una funció està definida a trossos si la seva expressió algebraica no és sempre la mateixa, sinó que varia en funció del valor de la x.

Per trobar el domini hem de calcular el domini de cadascuna de les funcions que la formen, tenint en compte l'interval on aquestes estan definides.

Si volem calcular-ne imatges, haurem de vigilar quina expressió ens cal fer servir per cada punt.

Exemple

Observeu la següent funció, amb la seva expressió algebraica a l'esquerra i el seu gràfic a la dreta amb uns punts assenyalats.

Aquesta funció està definida en tres trossos.

Pels valors de x més petits que -2, l'expressió de la funció és la funció afí x+3.

Pels valors de x que estan a l'interval [-2, 2] l'expressió de la funció és l'exponencial 2^x.

Pels valors de x més grans que dos la funció té l'expressió quadràtica x²-1

Els punts del gràfic que estan assenyalats com un punt obert o vol dir que no formen part del gràfic.

Així per exemple per calcular la imatge del -2, quina expressió caldria agafar?

La segona, 2^x, és per això que el punt (-2, 1) que correspondria a la recta de l'esquerra està assenyalat obert o en canvi el punt (-2, 0.25) que correspon al gràfic exponencial està assenyalat tancat ·.

Com calcularíem la imatge de -4?

Com -4 és més petit que -2, cal agafar la primera expressió x+3 i substituir la x per -4. (-4+3=-1).

Així diríem que la imatge per f de -4 és -1. (punt A)

Com calcularíem la imatge de 0?

Com 0 és més gran que -2 i més petit que 2, cal agafar la segona expressió 2^x i substituir la x per 0. (2⁰=1).

Així diríem que la imatge per f de 0 és 1. (punt B)

Com calcularíem la imatge de 3?

Com 3 és més gran que 2, cal agafar la darrera expressió x²-1 i substituir la x per 3. (3²-1=8).

Així diríem que la imatge per f de 3 és 8. (punt C)

Té antiimatges 0.5 per la funció f?

Per calcular antiimatges, el millor és mirar el gràfic.

Fixeu-vos que al gràfic s'ha dibuixat una línia puntejada, aquesta és y=0.5. Mirarem si el gràfic talla aquesta recta.

Veiem que sí, dues vegades assenyalades a la imatge amb una creu x. Per tant 0.5 té dues antiimatges -2.5 i -1.

Una funció definida a trossos és una funció que no està definida amb la mateixa forma algebraica per a tots els seus punts.

Exemple:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai x menor o igual que 1 fi cel·la fila cel·la fracció numerador 1 entre denominador x menys 3 fi fracció espai espai espai espai espai s i espai x major que 1 espai fi cel·la fi taula tanca$

O també la podríem expressar així:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre menys infinit coma 1 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la fracció numerador 1 entre denominador x menys 3 fi fracció espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 1 coma més infinit parèntesi dret fi cel·la fi taula tanca$

Punts d'aquesta funció. Per exemple:

$bold italic x negreta igual negreta menys negreta 1 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual negreta menys negreta 1 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai p u n t negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta coma negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret$

$bold italic x negreta igual negreta 0 espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual 0 espai espai espai negreta espai negreta espai negreta espai espai p u n t negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 0 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret$

$bold italic x negreta igual negreta 1 espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre 1 parèntesi dret igual negreta 1 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai p u n t negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 1 negreta coma negreta 1 negreta parèntesi dret$

$bold italic x negreta igual negreta 2 espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual fracció numerador 1 entre denominador 2 menys 3 fi fracció igual menys 1 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai p u n t negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 2 negreta coma negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret$

$bold italic x negreta igual negreta 4 espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre 4 parèntesi dret igual fracció numerador 1 entre denominador 4 menys 3 fi fracció igual 1 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai p u n t negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 4 negreta coma negreta 1 negreta parèntesi dret$

Observacions:

En l'interval $parèntesi esquerre menys infinit coma 1 negreta claudàtor dret$ posem interval tancat per la dreta per tal d'incloure l'1 ja que volem tots els valors $x negreta menor o igual que 1$
En l'interval $negreta parèntesi esquerre 1 coma més infinit claudàtor dret$ posem interval obert per la dreta per tal de no incloure l'1 ja que volem tots els valors $x negreta major que 1$
En els extrem infinits sempre posem interval obert, ja que $infinit$ no és cap nombre
En els exemples anteriors no hem pogut fer el cas x=3 ja que seria f(3)=1/0 però 1/0 no és cap nombre

Domini d'aquesta funció

- En l'interval $parèntesi esquerre menys infinit coma 1 negreta claudàtor dret$ com que la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x$ és una recta, tots els punts de l'interval són del domini

- En l'interval $negreta parèntesi esquerre 1 coma més infinit claudàtor dret$ , el domini de la funció $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 1 entre denominador x menys 3 fi fracció$ és tots els nombres reals excepte el 3

Com que el 3 està en en l'interval $negreta parèntesi esquerre 1 coma més infinit claudàtor dret$ , ho hem d'excloure del domini total de la funció f(x)

Per tant: $bold italic D subíndex negreta f negreta igual negreta nombres reals negreta menys negreta clau esquerra negreta menys negreta 3 negreta clau dreta$

La gràfica de la funció és aquesta:

(f(x)=x sí ho sabeu dibuixar però no encara f(x)=1/(x-3))

Observació:

Mireu la diferència en el domini d'aquesta altra funció:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai x menor o igual que 4 fi cel·la fila cel·la fracció numerador 1 entre denominador x menys 3 fi fracció espai espai espai espai espai s i espai x major que 4 espai fi cel·la fi taula tanca$

En aquest cas x=3 sí és del domini de la funció ja que com que $3 menor o igual que 4$

f(3) = 3

Per tant, en l'únic valor de x que podria haver problema, x=3, no hi ha ja que per a aquest valor la funció és f(x)=x

La gràfica de la funció (encara no la sabeu trobar) és aquesta:

La funció valor absolut

El valor absolut d'un nombre, és el valor sense signe, és a dir sempre positiu. Les funcions on intervé el valor absolut sempre tindran imatges positives.

Les podrem transformar en una funció definida a trossos de la següent manera:

$g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca barra vertical igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la menys f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai s i espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret menor que 0 fi cel·la fila cel·la espai espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai s i espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret major o igual que 0 fi cel·la fi taula tanca$

És a dir, cal mirar la funció que està dins del valor absolut. En els punts on aquesta és positiva, el valor absolut de la funció coincideix, per tant no hem de fer cap canvi. Però en els punts on és negatiu, la funció valor absolut li canvia el signe per transformar-la en positiu.

El primer que haurem d'estudiar amb les funcions d'aquests tipus, és el o els valors que anul·len la funció de dins del valor absolut i a partir d'aquí veure que passa als dos costats d'aquest punt.

Exemple

Fer el gràfic i un estudi complet de la següent funció i escriu-la com a funció definida a trossos.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical x més 5 tanca barra vertical$

Primer trobem el valor que anul·la la funció x+5=0, en aquest cas x=-5. Mirem (donant valors abans i després del 5) en quina regió la funció x+5 és positiva i en quina és negativa.
Per valors inferiors a -5 la funció és negativa i per valors més grans que -5 és positiva, per tant aquesta funció es pot escriure com a funció definida a trossos de la següent manera:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical x més 5 tanca barra vertical igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la menys x menys 5 espai s i espai x menor que menys 5 fi cel·la fila cel·la espai espai espai x més 5 espai s i espai x major o igual que menys 5 fi cel·la fi taula tanca$

Quin és el domini d'aquesta funció? En aquest cas tots els reals, perquè els dos trossos són polinòmics.

Per fer-ne el gràfic observem que els dos trossos corresponen a funcions polinòmiques de grau 1, per tant rectes.

Podem fer una taula de valors de per situar diversos punts del gràfic i unir-los (cal vigilar quin tros correspon a cada imatge).

x	-7	-6	-5	4	3	0
f(x)	2	1	0	1	2	5

Observem que la Imatge de la funció o rang és l'interval [0, +∞)

La funció decreix de -∞ a -5 i creix de -5 a +∞.

La funció presenta un mínim relatiu i absolut en el punt (-5, 0)

El punt de tall amb l'eix d'abscisses el trobem en (-5, 0) i el punt de tall amb l'eix d'ordenades el tenim en (0,5) (per trobar-lo cal trobar la imatge de 0 f(0)=0+5=5).

Aquesta funció no és parella, però sí que presenta una simetria respecte a la recta x=-5.

Resum de continguts sobre funcions

Descripció

Taula de continguts

El concepte de funció

Exemples

Dominis a les funcions definides a trossos

Exemple 1

Exemple 2:

Exemple 3

Operacions amb funcions

Suma i resta de funcions

Producte de funcions

Quocient de funcions

Composició de funcions

Exemple

Funció inversa

Com es calcula la funció inversa?

Característiques de les funcions

Funcions periòdiques

Funcions parelles o imparelles (simetries)

Punts de tall amb els eixos

Punts de tall amb l'eix d'abscisses (de les x)

Exemple

Punts de tall amb l'eix d'ordenades (de les y)

Exemple

Monotonia i extrems

Màxims i mínims

Funcions fitades

Exercici

Forma 1

Forma 2

Exercici

Resolució

Tipus de funcions

Funcions polinòmiques

Polinomis de grau 1, rectes

Exemple

Funcions racionals

Exemples

Funcions irracionals

Exemples

Funcions trigonomètriques

Funcions: sinus, cosinus i tangent

Funcions: secant, cosecant i cotangent

Exemple

Funcions definides a trossos

Exemple

La funció valor absolut

Exemple