Anterior

La funció valor absolut

El valor absolut d'un nombre, és el valor sense signe, és a dir sempre positiu. Les funcions on intervé el valor absolut sempre tindran imatges positives.

Les podrem transformar en una funció definida a trossos de la següent manera:

g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical f parèntesi esquerre x parèntesi dret tanca barra vertical igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la menys f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai s i espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret menor que 0 fi cel·la fila cel·la espai espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai s i espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret major o igual que 0 fi cel·la fi taula tanca

És a dir, cal mirar la funció que està dins del valor absolut. En els punts on aquesta és positiva, el valor absolut de la funció coincideix, per tant no hem de fer cap canvi. Però en els punts on és negatiu, la funció valor absolut li canvia el signe per transformar-la en positiu.

El primer que haurem d'estudiar amb les funcions d'aquests tipus, és el o els valors que anul·len la funció de dins del valor absolut i a partir d'aquí veure que passa als dos costats d'aquest punt.


Exemple

Fer el gràfic i un estudi complet de la següent funció i escriu-la com a funció definida a trossos.

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical x més 5 tanca barra vertical


Primer trobem el valor que anul·la la funció x+5=0, en aquest cas x=-5. Mirem (donant valors abans i després del 5) en quina regió la funció x+5 és positiva i en quina és negativa.
Per valors inferiors a -5 la funció és negativa i per valors més grans que -5 és positiva, per tant aquesta funció es pot escriure com a funció definida a trossos de la següent manera:

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre barra vertical x més 5 tanca barra vertical igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la menys x menys 5 espai s i espai x menor que menys 5 fi cel·la fila cel·la espai espai espai x més 5 espai s i espai x major o igual que menys 5 fi cel·la fi taula tanca

Quin és el domini d'aquesta funció? En aquest cas tots els reals, perquè els dos trossos són polinòmics.

Per fer-ne el gràfic observem que els dos trossos corresponen a funcions polinòmiques de grau 1, per tant rectes.

Podem fer una taula de valors de per situar diversos punts del gràfic i unir-los (cal vigilar quin tros correspon a cada imatge).

x

-7

-6

-5

4

3

0

f(x)

2

1

0

1

2

5


Observem que la Imatge de la funció o rang és l'interval [0, +∞)

La funció decreix de -∞ a -5 i creix de -5 a +∞.

La funció presenta un mínim relatiu i absolut en el punt (-5, 0)

El punt de tall amb l'eix d'abscisses el trobem en (-5, 0) i el punt de tall amb l'eix d'ordenades el tenim en (0,5) (per trobar-lo cal trobar la imatge de 0 f(0)=0+5=5).

Aquesta funció no és parella, però sí que presenta una simetria respecte a la recta x=-5.




Anterior