Resum de continguts sobre funcions
Resum
Monotonia i extrems
Una funció monòtona és creixent o decreixent.
- Una funció és creixent en un interval, si sempre que x1 < x2 →f( x1 ) f( x2). És a dir si augmentem el valor de les x, augmenten
també les imatges. Observem que les imatges poden ser més grans o iguals.
- Una funció és estrictament creixent en un interval si sempre que x1 < x2 →f( x1 )<f( x2).
- Una funció és decreixent en un interval si sempre que x1 < x2 →f( x1 ) f( x2). És a dir en augmentar el valor de les x,
el valor de les imatges disminueix. Observem que les imatges poden ser més petites o iguals.
- Una funció és estrictament decreixent en un interval si sempre que x1 < x2 →f( x1 )> f( x2). És a dir en augmentar el valor de les x, el valor de les imatges disminueix de forma estricta.
Màxims i mínims
L'estudi de la monotonia d'una funció portarà a trobar els possibles màxims i mínims.
Una funció té un màxim relatiu en un punt a, si en un entorn d'aquest punt les imatges són totes més petites o iguals que f(a). Això matemàticament ho escriurem : f(a) f(x) per a tot x de l'entorn de a.
Una funció té un mínim relatiu en un punt a, si en un entorn d'aquest punt les imatges són totes més grans o iguals que f(a). Això matemàticament ho escriurem : f(a) f(x)
per a tot x de l'entorn de a.
Observa en aquesta imatge que si tenim un màxim relatiu en el punt (a, f(a)) la funció creix a l'esquerra de a i decreix a la seva dreta. Si el que tenim és un mínim relatiu, passa el contrari: la funció a l'esquerra del punt ve decreixent i després passa a créixer.
Atenció! Si en un exercici ens demanin els intervals de creixement i decreixement, no ho haurem d'assenyalar damunt del gràfic, sinó que haurem de dir per quins valors de x (del domini) la funció creix o decreix i ho expressarem en forma d'intervals. Veieu els exercicis resolts dels capítols posteriors.
Funcions fitades
Una funció f està fitada superiorment si hi ha un nombre k tal que per a tot valor x del domini de f es verifica que .
Una funció f està fitada inferiorment si hi ha un nombre k tal que per a tot valor x del domini de f es verifica que .
Les funcions no fitades superiorment (o inferiorment) tenen imatges tan grans (o tan petites) com vulguem.