Resum de continguts sobre funcions

Funcions definides a trossos

Diem que una funció està definida a trossos si la seva expressió algebraica no és sempre la mateixa, sinó que varia en funció del valor de la x.

Per trobar el domini hem de calcular el domini de cadascuna de les funcions que la formen, tenint en compte l'interval on aquestes estan definides.

Si volem calcular-ne imatges, haurem de vigilar quina expressió ens cal fer servir per cada punt.

Exemple

Observeu la següent funció, amb la seva expressió algebraica a l'esquerra i el seu gràfic a la dreta amb uns punts assenyalats.

Aquesta funció està definida en tres trossos.

Pels valors de x més petits que -2, l'expressió de la funció és la funció afí x+3.

Pels valors de x que estan a l'interval [-2, 2] l'expressió de la funció és l'exponencial 2^x.

Pels valors de x més grans que dos la funció té l'expressió quadràtica x²-1

Els punts del gràfic que estan assenyalats com un punt obert o vol dir que no formen part del gràfic.

Així per exemple per calcular la imatge del -2, quina expressió caldria agafar?

La segona, 2^x, és per això que el punt (-2, 1) que correspondria a la recta de l'esquerra està assenyalat obert o en canvi el punt (-2, 0.25) que correspon al gràfic exponencial està assenyalat tancat ·.

Com calcularíem la imatge de -4?

Com -4 és més petit que -2, cal agafar la primera expressió x+3 i substituir la x per -4. (-4+3=-1).

Així diríem que la imatge per f de -4 és -1. (punt A)

Com calcularíem la imatge de 0?

Com 0 és més gran que -2 i més petit que 2, cal agafar la segona expressió 2^x i substituir la x per 0. (2⁰=1).

Així diríem que la imatge per f de 0 és 1. (punt B)

Com calcularíem la imatge de 3?

Com 3 és més gran que 2, cal agafar la darrera expressió x²-1 i substituir la x per 3. (3²-1=8).

Així diríem que la imatge per f de 3 és 8. (punt C)

Té antiimatges 0.5 per la funció f?

Per calcular antiimatges, el millor és mirar el gràfic.

Fixeu-vos que al gràfic s'ha dibuixat una línia puntejada, aquesta és y=0.5. Mirarem si el gràfic talla aquesta recta.

Veiem que sí, dues vegades assenyalades a la imatge amb una creu x. Per tant 0.5 té dues antiimatges -2.5 i -1.