Resum de continguts sobre funcions

Domini

El domini d'una funció f  el formen els valors de la variable independent x que tenen imatge per f. Els representem per Dom f. 

És a dir, són els punts on té sentit definir la funció.

Els dominis s'expressen de diferents formes segons convingui: com a conjunt de punts o com a intervals de la recta real. 

Càlcul del domini

Si tenim una funció definida de forma algebraica, és a dir com una fórmula, per calcular el seu domini haurem de trobar els valors reals on té sentit aplicar l'expressió algebraica. Bàsicament caldrà vigilar:

• Si la funció és polinòmica el domini estarà format per tots els nombres reals  
  
• Si la funció és racional, és a dir és quocient de dos polinomis: , el domini seran tots els valors reals excepte aquells que anul·len el denominador. 
  
  
• Si la funció té arrels amb índex parell , sabem que no està definides en els negatius, per tant caldrà trobar quins valors fan que el radicand sigui negatiu i treure'ls del domini.
  
  
• Si la funció té una arrel amb índex senar, no té cap problema de definició. Per tant .
  
  
• Si la funció és logarítmica (les treballarem més endavant) , tindrem que
  
  
• Per trobar el domini de funcions definides a trossos haurem de calcular el domini de cadascun dels trossos i unir-los. Cal tenir en compte en quina regió està definida cada tros.
  
  
• Si la funció és l'operació de diverses funcions (suma, resta, multiplicació, etc) caldrà calcular el domini de cada terme i pel domini final s'hauran de tenir en compte totes les restriccions que surtin de cada tros.
  
  
• Si la funció és composició de diversos tipus de funcions, s'haurà de vigilar que totes les components estiguin ben definides així com la composició final.
  
  
• Si treballem amb una funció en un context, caldrà imposar també que tingui sentit la funció dins del context.
  

 

Recorregut

El recorregut o rang d'una funció f és el conjunt format per totes les imatges de f, és a dir són tots els valors y que són imatge d'alguna x.

El denotem 

Gràficament la imatge o recorregut de f la formen tots els valors verticals del gràfic.

Exemples

	A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció f(x)=x²-3 En tractar-se d'una funció polinòmica el domini està format per tots els nombres reals, és a dir: Dom f= R Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a infinit (les branques seguirien creixent, tot i que aquí només en posem un tros), per tant Im f = [-3, +∞)
	A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció a trossos. Per trobar-ne el domini cal veure quins valors de l'eix horitzontal tenen imatge, hem assenyalat en color blau els punts que ho compleixen: Dom f= [-9,-5] U [-3,6] Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a 6, per tant Im f = [-3, 6]

       
        A l'hora de calcular el domini i recorregut d'una funció, caldrà tenir en compte si la funció està definida en un context real i llavors restringir-los allà on aquest tingui sentit.

        Per exemple, en considerar la funció f(x)= 2x  podríem dir que tant el domini com el recorregut d'aquesta funció són tots els reals.
        Ara bé, la funció que ens associa l'àrea d'un rectangle de base 2 en funció de l'altura, també seria f(x)=2x en canvi hauríem de pensar que tant el domini com el recorregut són els reals positius, doncs no té sentit pensar en una altura o àrea negatives.