Següent

Angles i mesures

Un angle és la regió compresa entre dues semirectes que tenen un origen comú anomenat vèrtex.

Els angles es mesuren amb diferents tipus d'unitats, les més utilitzades són els graus sexagesimals i els radians (sistema internacional).

L'angle central d'una circumferència mesura 360⁰. Els graus es divideixen en 60 parts iguals que anomenem minuts i aquests alhora en seixanta parts iguals que anomenem segons (com el sistema horari). Per això podem expressar els angles amb precisió amb la seva forma complexa: graus-minuts i segons.
A les calculadores científiques teniu la tecla que ens permetrà passar un angle a forma complexa.
Per exemple si tenim l'angle 25,963⁰ per passar-lo a forma complexa faríem: 25,963 = 25⁰ 57' 46,8 '' . Proveu-ho amb la vostra calculadora.

Canvi d'unitats

Quina relació hi ha entre graus i radians?

Tenim dues unitats diferents per la mesura d'angles: els graus sexagesimals (que segurament són els que més utilitzem)  i els radians (que són el les unitats del sistema internacional).

Una circumferència completa té 360⁰ i mitja, per tant, 180⁰.

Un radian és la mesura d'un angle que té una longitud d'arc igual al seu radi.


Llavors: quants radians hi ha en una circumferència completa?

L'únic que hem de fer és dividir la longitud de la circumferència entre el radi.

L igual espai 2 per normal pi per normal r espai espai espai espai espai obre parèntesis longitud espai de espai la espai circumferència tanca parèntesis Dividim espai la espai longitud espai entre espai el espai radi dos punts fracció normal L entre normal r espai igual espai fracció numerador espai 2 per normal pi per ratllat diagonal cap amunt normal r espai entre denominador ratllat diagonal cap amunt normal r fi fracció espai igual espai espai 2 per normal pi espai

Si en tota la circumferència tenim 2 per pi radians, en mitja en tindrem pi.

A partir d'aquí  tenim les igualtats:

o bé   360 ⁰ igual 2 per pi  o bé 180 ⁰ igual pi qualsevol de les dues ens servirà com a factor de conversió

fracció numerador 2 per pi espai espai r a d entre denominador 360 ⁰ espai fi fracció espai espai espai espai espai o espai espai espai espai espai espai fracció numerador pi espai espai r a d entre denominador 180 ⁰ espai fi fracció  per passar de graus a radians

fracció numerador 360 ⁰ espai entre denominador 2 per pi espai espai r a d fi fracció espai espai espai espai espai o espai espai espai espai espai espai fracció numerador 180 ⁰ entre denominador pi espai espai r a d espai fi fracció per passar de radians a graus


Exemples

1. Expresseu en radians l'angle 3000

300 ⁰ espai igual 300 ratllat diagonal cap amunt graus per fracció numerador 2 pi espai r a d entre denominador 360 ratllat diagonal cap amunt graus fi fracció igual fracció numerador 300 per 2 pi espai r a d entre denominador 360 fi fracció igual fracció numerador 600 per pi espai r a d entre denominador 360 fi fracció igual espai r e d u ï m espai l a espai f r a c c i ó espai d i v i d i n t espai e n t r e espai 120 fracció numerador 5 normal pi espai rad entre denominador 3 fi fracció quasi igual a 5 coma 23 espai r a d espai


2. Expresseu en graus sexagesimals l'angle de 5 rad

5 espai r a d igual espai 5 ratllat diagonal cap amunt espai r a d fi ratllat per fracció numerador 360 graus entre denominador 2 pi espai ratllat diagonal cap amunt r a d fi ratllat fi fracció igual fracció numerador 5 per 360 ⁰ entre denominador 2 per pi fi fracció igual fracció numerador 1800 ⁰ entre denominador 2 per pi fi fracció igual parèntesi esquerre producte asterisco parèntesi dret igual fracció numerador 900 graus entre denominador normal pi fi fracció quasi igual a 286 coma 6 graus

En el pas (*) hem simplificat la fracció dividint numerador i denominador entre 2.

Nota: en fer canvi d'unitats, si no volem perdre precisió ho podem simplificar i deixar en funció de pi, si realitzem l'operació amb calculadora ens quedarà un nombre aproximat i caldrà arrodonir a la xifra que ens diguin.Convé treballar amb el màxim de xifres de pi que ens dóna la calculadora per no perdre precisió i fer l'aproximació en el resultat final.


 

Següent