Resum Sistemes d'equacions

Per plantejar i resoldre un problema:

• Fer una lectura detallada de l'enunciat. 
  
• Identificar les incògnites i les dades del problema.
  
•  Plantejar les equacions. Rellegim l'enunciat i hem de "traduir" cada dada a una equació.
• Resoldre el sistema d'equacions plantejat (en principi, aconsellem utilitzar el sistema de Gauss).
• Interpretar les solucions en el context de l'enunciat i, si cal, descartar solucions. Comprovar que les solucions obtingudes són coherents.
  

Les incògnites són el preu al qual va comprar cada peça x, y i z.

De l'enunciat, traduïm cada dada a una equació 

· El preu total és de 2000000.

  Per comoditat podem treballar en milions, per tant: 

      $\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{+}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{2}$ 

· Els beneficis que obtindríem: 

   (recordem que el p% de k és  $k.\frac{p}{100}$)

    $$\begin{gathered} x.\frac{20}{100}+y·\frac{50}{100}+z·\frac{25}{100}=0,6 \\ 0,2x+0,5y+0,25z=0,6 \end{gathered}$$

    Multipliquem per 100 :      $20x+50y+25z=60$

    Dividim per 5:                       $\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{12}$

· Els beneficis que ha obtingut: 

   $0,8x+0,9y+0,85z=1,7$

   Multipliquem per 100:        $80x+90y+85z=170$

   Dividim per 5:                       $\mathbf{16}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{18}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{17}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{34}$

  Tenim el sistema d'equacions: 

  $\left.\begin{array}{c}x+y+z=2\\ 4x+10y+5z=12\\ 16x+18y+17z=34\end{array}\right\}$

  que resolem per Gauss:       $\left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 10& 5\\ 16& 18& 17\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 12\\ 34\end{array}\right)\to \begin{array}{c}\\ f_2-4f_{1 }\\ \mathbf{ }{f}_3-16f_1\end{array} \left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 6& 1\\ 0& 2& 1\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right) \to \begin{array}{c}\\ \\ 3f_3-f_2\end{array} \left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 6& 1\\ 0& 0& 2\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ 

 Començant per la última equació tenim: 

  $2z=2 \Rightarrow \mathbf{ }\boxed{\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{ó}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}}$

 Substituint en la segona equació: 

  $$\begin{gathered} 6y+z=4 \\ 6y+1=4 \Rightarrow 6y=3 \Rightarrow y=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{ }\boxed{\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}} \end{gathered}$$

 i substituint en la primera: 

  $$\begin{gathered} x+y+z=2 \\ x+0,5+1=2 \Rightarrow x=2-1-0,5 \Rightarrow \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}} \end{gathered}$$