Resum Sistemes d'equacions

Sistemes d'equacions lineals.

Són sistemes del tipus: 

$\left.\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+.....+a_{1n}{x}_n=b_1 \\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+.....+a_{2n}{x}_n=b_2\\ \begin{array}{c}.....\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+.....+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}\end{array}\right\}$

on les a_ij són nombres i diem que són els coeficients del sistema,
     les b_i són els termes independents del sistema,
     les x_i són les variables o incògnites del sistema

El que hem escrit és un sistema general de m equacions i n incògnites. 

Una solució (s_1, s₂, ... s_n) és solució del sistema si verifica simultàniament totes les equacions.

Fins ara hem treballat amb els sistemes de 2 equacions i 2 incògnites.

En aquest lliurament principalment treballarem amb sistemes de 3 equacions i 3 incògnites que designarem, de manera més pràctica, per x, y i z. 

Exemples:

$\left.\begin{array}{c}2x-y+z=1\\ x+3y-z=6\\ 2x-3y+z=-3\end{array}\right\}$  és un sistema de 3 equacions i 3 incògnites. Solució (1,2,1)

$\left.\begin{array}{c}x+y^2=1\\ \frac{x}{y}+2y=6\end{array}\right\}$   no és un sistema d'equacions lineal. No tractarem aquest tipus de sistema.

Tipus de sistemes d'equacions

Els sistemes d'equacions, atenent al nombre de solucions que tenen, es poden classificar en:

 $$\begin{gathered} \mathrm{Té} \mathrm{solució}:\hspace{0.17em}\mathrm{sistema} \mathbf{compatible} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{Una} \mathrm{única} \mathrm{solució}: \mathbf{Compatble}\mathbf{ }\mathbf{determinat}\\ \mathrm{Infinites} \mathrm{solucions}: \mathbf{Compatible}\mathbf{ }\mathbf{indeterminat}\end{array}\right. \\ \mathrm{No} \mathrm{té} \mathrm{solució}: \mathrm{sistema}\mathbf{ }\mathbf{incompatible} \end{gathered}$$

Per plantejar i resoldre un problema:

• Fer una lectura detallada de l'enunciat. 
  
• Identificar les incògnites i les dades del problema.
  
•  Plantejar les equacions. Rellegim l'enunciat i hem de "traduir" cada dada a una equació.
• Resoldre el sistema d'equacions plantejat (en principi, aconsellem utilitzar el sistema de Gauss).
• Interpretar les solucions en el context de l'enunciat i, si cal, descartar solucions. Comprovar que les solucions obtingudes són coherents.
  

Les incògnites són el preu al qual va comprar cada peça x, y i z.

De l'enunciat, traduïm cada dada a una equació 

· El preu total és de 2000000.

  Per comoditat podem treballar en milions, per tant: 

      $\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{+}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{2}$ 

· Els beneficis que obtindríem: 

   (recordem que el p% de k és  $k.\frac{p}{100}$)

    $$\begin{gathered} x.\frac{20}{100}+y·\frac{50}{100}+z·\frac{25}{100}=0,6 \\ 0,2x+0,5y+0,25z=0,6 \end{gathered}$$

    Multipliquem per 100 :      $20x+50y+25z=60$

    Dividim per 5:                       $\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{12}$

· Els beneficis que ha obtingut: 

   $0,8x+0,9y+0,85z=1,7$

   Multipliquem per 100:        $80x+90y+85z=170$

   Dividim per 5:                       $\mathbf{16}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{18}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{17}\mathit{z}\mathbf{=}\mathbf{34}$

  Tenim el sistema d'equacions: 

  $\left.\begin{array}{c}x+y+z=2\\ 4x+10y+5z=12\\ 16x+18y+17z=34\end{array}\right\}$

  que resolem per Gauss:       $\left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 10& 5\\ 16& 18& 17\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 12\\ 34\end{array}\right)\to \begin{array}{c}\\ f_2-4f_{1 }\\ \mathbf{ }{f}_3-16f_1\end{array} \left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 6& 1\\ 0& 2& 1\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right) \to \begin{array}{c}\\ \\ 3f_3-f_2\end{array} \left(\overline{)\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 6& 1\\ 0& 0& 2\end{array}}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ 

 Començant per la última equació tenim: 

  $2z=2 \Rightarrow \mathbf{ }\boxed{\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{ó}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}}$

 Substituint en la segona equació: 

  $$\begin{gathered} 6y+z=4 \\ 6y+1=4 \Rightarrow 6y=3 \Rightarrow y=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{ }\boxed{\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}} \end{gathered}$$

 i substituint en la primera: 

  $$\begin{gathered} x+y+z=2 \\ x+0,5+1=2 \Rightarrow x=2-1-0,5 \Rightarrow \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\text{'}}\mathbf{e}\mathbf{u}\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{s}} \end{gathered}$$