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6. Classificació d'un sistema d'equacions: Teorema de Rouché-Frobenius

Donat un sistema d'equacions lineals, sigui

    M la matriu associada al sistema

    M' la matriu ampliada

Teorema de Rouché-Frobenius:

envoltorio caja por Si negrita espacio bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negrita espacio negrita M negrita espacio negrita no igual negrita espacio bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negrita espacio negrita M negrita apóstrofo espacio flecha doble derecha espacio sistema negrita espacio negrita incompatible por Si espacio bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negrita espacio negrita M negrita espacio negrita igual bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negrita espacio negrita M negrita apóstrofo igual normal r espacio espacio flecha doble derecha abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda Si negrita espacio negrita r negrita igual negrita nombre negrita espacio negrita d negrita apóstrofo negrita incògnites espacio espacio flecha doble derecha espacio negrita compatible negrita espacio negrita determinat espacio fin celda fila celda Si espacio negrita r negrita menor que negrita nombre negrita espacio negrita d negrita apóstrofo negrita incògnites espacio espacio flecha doble derecha espacio negrita compatible negrita espacio negrita indeterminat fin celda fin tabla cerrar fin envoltorio  Exemples:   

Exemple espacio 1

Classifiqueu el sistema: 

abrir tabla fila celda x menos 2 y más 3 z igual 3 fin celda fila celda 2 x más y menos z igual 1 fin celda fila celda menos x menos 3 y más 4 z igual menos 1 fin celda fin tabla cerrar llaves

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 2 1 celda menos 1 fin celda fila celda menos 1 fin celda celda menos 3 fin celda 4 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila 1 fila celda menos 1 fin celda fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha espacio espacio tabla fila blank fila celda menos negrita 2 f subíndice 1 más f subíndice 2 espacio fin subíndice fin celda fila celda negrita espacio negrita espacio negrita espacio f subíndice 1 más f subíndice 3 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 0 5 celda menos 7 fin celda fila 0 celda menos 5 fin celda 7 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila celda menos 5 fin celda fila 2 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio flecha derecha espacio espacio espacio espacio tabla fila blank fila blank fila celda f subíndice 2 más f subíndice 3 fin celda fin tabla espacio espacio abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 0 5 celda menos 7 fin celda fila 0 0 0 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila celda menos 5 fin celda fila celda menos 3 fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda rang espacio normal M igual 2 espacio fin celda fila celda rang espacio normal M apóstrofo igual 3 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio flecha doble derecha espacio negrita espacio negrita Sistema negrita espacio negrita incompatible espacio

Exemple espacio 2

Classifiqueu el sistema: 

abrir tabla fila celda x menos 2 y más 3 z igual 3 fin celda fila celda 2 x más y menos z igual 1 fin celda fila celda menos x menos 3 y más 4 z igual 2 fin celda fin tabla cerrar llaves

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

 abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 2 1 celda menos 1 fin celda fila celda menos 1 fin celda celda menos 3 fin celda 4 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila 1 fila 2 fin tabla cerrar paréntesis flecha derecha espacio espacio tabla fila blank fila celda menos negrita 2 f subíndice 1 más f subíndice 2 espacio fin subíndice fin celda fila celda negrita espacio negrita espacio negrita espacio f subíndice 1 más f subíndice 3 fin celda fin tabla espacio abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 0 5 celda menos 7 fin celda fila 0 celda menos 5 fin celda 7 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila celda menos 5 fin celda fila 5 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio flecha derecha espacio espacio espacio espacio tabla fila blank fila blank fila celda f subíndice 2 más f subíndice 3 fin celda fin tabla espacio espacio abrir paréntesis envoltorio por la derecha tabla fila 1 celda menos 2 fin celda 3 fila 0 5 celda menos 7 fin celda fila 0 0 0 fin tabla fin envoltorio tabla fila 3 fila celda menos 5 fin celda fila 0 fin tabla cerrar paréntesis espacio

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

   abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda rang espacio normal M igual 2 espacio fin celda fila celda rang espacio normal M apóstrofo igual 2 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio flecha doble derecha espacio negrita espacio Sistema espacio compatible


     i el nombre de incógnites, x, y, z és 3  

   Per tant: 

     rango 2 < 3 nombre incógnites      Sistema compatible indeterminat

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