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Límits de funcions racionals

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}

on P parenthèse gauche x parenthèse droite égal à a indice n x puissance n plus a indice n moins 1 fin d'indice x puissance n moins 1 fin de l'exposant plus... plus a indice 1 x plus a indice 0 espace a m b espace a indice i espace espace fin d'indice appartient à R.

on Q parenthèse gauche x parenthèse droite égal à b indice m x puissance m plus b indice m moins 1 fin d'indice x puissance m moins 1 fin de l'exposant plus... plus b indice 1 x plus b indice 0 espace a m b espace b indice i espace espace fin d'indice appartient à R.

Límits en un punt

Per fer els límits en un punt p en principi substituirem la funció en el punt.

  • Si dóna un valor finit aquest serà el límit.
  • En cas que doni k sur 0  el límit serà plus infini espace ó espace moins infini en funció del signe de la k i del 0. Caldrà fer els límits laterals.
  • Si dóna 0 sur 0 es tracta d'una indeterminació que caldrà resoldre. Haurem de factoritzar numerador i denominadors, simplificar i després tornar a fer el límit. Les treballarem una mica més endavant.


Exemples

  • f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction  calculem els límits en els punts 3, 5 i -1.
    • limite avec x flèche vers la droite 3 de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 3 de numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 3 au carré plus 3 fois 3 plus 2 au-dessus du dénominateur 3 au carré moins 4 fois 3 moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 20 au-dessus du dénominateur moins 8 fin de la fraction égal à moins 5 sur 2

    • limite avec x flèche vers la droite 5 de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 5 de numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 5 au carré plus 3 fois 5 plus 2 au-dessus du dénominateur 5 au carré moins 4 fois 5 moins 5 fin de la fraction égal à 42 sur 0  com dividim per 0, serà plus infini espace ó espace moins infini . Caldrà estudiar els límits laterals per saber-ho.


         limite avec x flèche vers la droite 5 puissance moins de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 5 puissance moins de numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction parenthèse gauche 4 virgule 99 parenthèse droite au carré plus 3 fois parenthèse gauche 4 virgule 99 parenthèse droite plus 2 au-dessus du dénominateur parenthèse gauche 4 virgule 99 parenthèse droite au carré moins 4 fois parenthèse gauche 4 virgule 99 parenthèse droite moins 5 fin de la fraction égal à 42 sur 0 puissance moins égal à moins infini

         limite avec x flèche vers la droite 5 puissance plus de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 5 puissance plus de numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction parenthèse gauche 5 virgule 01 parenthèse droite au carré plus 3 fois parenthèse gauche 5 virgule 01 parenthèse droite plus 2 au-dessus du dénominateur parenthèse gauche 5 virgule 01 parenthèse droite au carré moins 4 fois parenthèse gauche 5 virgule 01 parenthèse droite moins 5 fin de la fraction égal à 42 sur 0 puissance plus égal à plus infini

         Com els dos límits laterals prenen valors diferents, el límit en 5 no existeix.

    • limite avec x flèche vers la droite moins 1 de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite moins 1 de numérateur de la fraction x au carré plus 3 x plus 2 au-dessus du dénominateur x au carré moins 4 x moins 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 3 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite plus 2 au-dessus du dénominateur parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré moins 4 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite moins 5 fin de la fraction égal à 0 sur 0 espace i n d e t e r m i n a c i ó
      Aprendrem més endavant a resoldre aquest tipus d'indeterminacions.

Límits a infinit

Per fer límits a plus infini espace ó espace moins infini només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

a indice n x puissance n del polinomi P(x) i en b indice m x puissance m del polinomi Q(x)

El límit final dependrà del grau de la següent manera:

cadre englobant limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction P parenthèse gauche x parenthèse droite au-dessus du dénominateur Q parenthèse gauche x parenthèse droite fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction a indice n x puissance n au-dessus du dénominateur b indice m x puissance m fin de la fraction égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule plus infini espace o espace moins infini espace s i espace g r a u espace n u m e r a d o r supérieur à g r a u espace d e l espace d e n o m i n a d o r espace espace fin de cellule ligne cellule 0 espace espace s i espace espace espace espace espace espace g r a u espace n u m e r a d o r inférieur à g r a u espace d e l espace d e n o m i n a d o r espace espace fin de cellule ligne cellule a indice n sur b indice m espace s i espace g r a u espace n u m e r a d o r égal à g r a u espace d e l espace d e n o m i n a d o r espace fin de cellule fin de tableau fin fin


El signe de l'infinit caldrà estudiar-lo amb detall seguint el que s'ha comentat amb les funcions polinòmiques i la regla dels signes.

Exemples
  • f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction moins x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au carré plus 4 x moins 1 fin de la fraction

limite avec x flèche vers la droite plus infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au carré plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins x au cube au-dessus du dénominateur 3 x au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 2 fin de la fraction égal à moins infini  el signe és negatiu perquè el numerador és negatiu i denominador positiu


limite avec x flèche vers la droite moins infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au carré plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins x au cube au-dessus du dénominateur 3 x au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 2 fin de la fraction égal à plus infini espace , observem que en aquest cas, el numerador tindria signe + i el denominador també i per això el quocient és +.

  • f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x puissance 5 plus 4 x moins 1 fin de la fraction
limite avec x flèche vers la droite plus infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x puissance 5 plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction 2 x au cube au-dessus du dénominateur 3 x puissance 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 5 fin de la fraction égal à 0
limite avec x flèche vers la droite moins infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x puissance 5 plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 2 x au cube au-dessus du dénominateur 3 x puissance 5 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 5 fin de la fraction égal à 0


  • f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au cube plus 4 x moins 1 fin de la fraction

    limite avec x flèche vers la droite plus infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au cube plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction 2 x au cube au-dessus du dénominateur 3 x au cube fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 3 fin de la fraction égal à 2 sur 3
    limite avec x flèche vers la droite moins infini de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 2 x au cube plus 2 x au carré moins 5 au-dessus du dénominateur 3 x au cube plus 4 x moins 1 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 2 x au cube au-dessus du dénominateur 3 x au cube fin de la fraction égal à numérateur de la fraction g r a u 3 au-dessus du dénominateur g r a u espace 3 fin de la fraction égal à 2 sur 3
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