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Límits de funcions racionals

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}

on P paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual a subíndice n x elevado a n más a subíndice n menos 1 fin subíndice x elevado a n menos 1 fin elevado más... más a subíndice 1 x más a subíndice 0 espacio a m b espacio a subíndice i espacio espacio fin subíndice pertenece R.

on Q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual b subíndice m x elevado a m más b subíndice m menos 1 fin subíndice x elevado a m menos 1 fin elevado más... más b subíndice 1 x más b subíndice 0 espacio a m b espacio b subíndice i espacio espacio fin subíndice pertenece R.

Límits en un punt

Per fer els límits en un punt p en principi substituirem la funció en el punt.

  • Si dóna un valor finit aquest serà el límit.
  • En cas que doni fracción k entre 0  el límit serà más infinito espacio ó espacio menos infinito en funció del signe de la k i del 0. Caldrà fer els límits laterals.
  • Si dóna fracción 0 entre 0 es tracta d'una indeterminació que caldrà resoldre. Haurem de factoritzar numerador i denominadors, simplificar i després tornar a fer el límit. Les treballarem una mica més endavant.


Exemples

  • f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción  calculem els límits en els punts 3, 5 i -1.
    • límite cuando x flecha derecha 3 de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 3 de fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción igual fracción numerador 3 al cuadrado más 3 por 3 más 2 entre denominador 3 al cuadrado menos 4 por 3 menos 5 fin fracción igual fracción numerador 20 entre denominador menos 8 fin fracción igual menos fracción 5 entre 2

    • límite cuando x flecha derecha 5 de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 5 de fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción igual fracción numerador 5 al cuadrado más 3 por 5 más 2 entre denominador 5 al cuadrado menos 4 por 5 menos 5 fin fracción igual fracción 42 entre 0  com dividim per 0, serà más infinito espacio ó espacio menos infinito . Caldrà estudiar els límits laterals per saber-ho.


         límite cuando x flecha derecha 5 elevado a menos de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 5 elevado a menos de fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción igual fracción numerador paréntesis izquierdo 4 coma 99 paréntesis derecho al cuadrado más 3 por paréntesis izquierdo 4 coma 99 paréntesis derecho más 2 entre denominador paréntesis izquierdo 4 coma 99 paréntesis derecho al cuadrado menos 4 por paréntesis izquierdo 4 coma 99 paréntesis derecho menos 5 fin fracción igual fracción 42 entre 0 elevado a menos igual menos infinito

         límite cuando x flecha derecha 5 elevado a más de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 5 elevado a más de fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción igual fracción numerador paréntesis izquierdo 5 coma 01 paréntesis derecho al cuadrado más 3 por paréntesis izquierdo 5 coma 01 paréntesis derecho más 2 entre denominador paréntesis izquierdo 5 coma 01 paréntesis derecho al cuadrado menos 4 por paréntesis izquierdo 5 coma 01 paréntesis derecho menos 5 fin fracción igual fracción 42 entre 0 elevado a más igual más infinito

         Com els dos límits laterals prenen valors diferents, el límit en 5 no existeix.

    • límite cuando x flecha derecha menos 1 de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha menos 1 de fracción numerador x al cuadrado más 3 x más 2 entre denominador x al cuadrado menos 4 x menos 5 fin fracción igual fracción numerador paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cuadrado más 3 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho más 2 entre denominador paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cuadrado menos 4 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho menos 5 fin fracción igual fracción 0 entre 0 espacio i n d e t e r m i n a c i ó
      Aprendrem més endavant a resoldre aquest tipus d'indeterminacions.

Límits a infinit

Per fer límits a más infinito espacio ó espacio menos infinito només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

a subíndice n x elevado a n del polinomi P(x) i en b subíndice m x elevado a m del polinomi Q(x)

El límit final dependrà del grau de la següent manera:

envoltorio caja límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador P paréntesis izquierdo x paréntesis derecho entre denominador Q paréntesis izquierdo x paréntesis derecho fin fracción igual límite cuando x flecha derecha infinito de fracción numerador a subíndice n x elevado a n entre denominador b subíndice m x elevado a m fin fracción igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda más infinito espacio o espacio menos infinito espacio s i espacio g r a u espacio n u m e r a d o r mayor que g r a u espacio d e l espacio d e n o m i n a d o r espacio espacio fin celda fila celda 0 espacio espacio s i espacio espacio espacio espacio espacio espacio g r a u espacio n u m e r a d o r menor que g r a u espacio d e l espacio d e n o m i n a d o r espacio espacio fin celda fila celda fracción a subíndice n entre b subíndice m espacio s i espacio g r a u espacio n u m e r a d o r igual g r a u espacio d e l espacio d e n o m i n a d o r espacio fin celda fin tabla cerrar fin envoltorio


El signe de l'infinit caldrà estudiar-lo amb detall seguint el que s'ha comentat amb les funcions polinòmiques i la regla dels signes.

Exemples
  • f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador menos x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 4 x menos 1 fin fracción

límite cuando x flecha derecha más infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador menos x al cubo entre denominador 3 x al cuadrado fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 2 fin fracción igual menos infinito  el signe és negatiu perquè el numerador és negatiu i denominador positiu


límite cuando x flecha derecha menos infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador menos x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador menos x al cubo entre denominador 3 x al cuadrado fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 2 fin fracción igual más infinito espacio , observem que en aquest cas, el numerador tindria signe + i el denominador també i per això el quocient és +.

  • f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x elevado a 5 más 4 x menos 1 fin fracción
límite cuando x flecha derecha más infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x elevado a 5 más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador 2 x al cubo entre denominador 3 x elevado a 5 fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 5 fin fracción igual 0
límite cuando x flecha derecha menos infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x elevado a 5 más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador 2 x al cubo entre denominador 3 x elevado a 5 fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 5 fin fracción igual 0


  • f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cubo más 4 x menos 1 fin fracción

    límite cuando x flecha derecha más infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cubo más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha más infinito de fracción numerador 2 x al cubo entre denominador 3 x al cubo fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 3 fin fracción igual fracción 2 entre 3
    límite cuando x flecha derecha menos infinito de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador 2 x al cubo más 2 x al cuadrado menos 5 entre denominador 3 x al cubo más 4 x menos 1 fin fracción igual límite cuando x flecha derecha menos infinito de fracción numerador 2 x al cubo entre denominador 3 x al cubo fin fracción igual fracción numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espacio 3 fin fracción igual fracción 2 entre 3
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