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Límits de funcions racionals

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}

on P linke klammer x rechte klammer gleich a unterer Index n x hoch n plus a unterer Index n minus 1 Ende unterer Index x hoch n minus 1 Endexponent plus... plus a unterer Index 1 x plus a unterer Index 0 Leerzeichen a m b Leerzeichen a unterer Index i Leerzeichen Leerzeichen Ende unterer Index element von R.

on Q linke klammer x rechte klammer gleich b unterer Index m x hoch m plus b unterer Index m minus 1 Ende unterer Index x hoch m minus 1 Endexponent plus... plus b unterer Index 1 x plus b unterer Index 0 Leerzeichen a m b Leerzeichen b unterer Index i Leerzeichen Leerzeichen Ende unterer Index element von R.

Límits en un punt

Per fer els límits en un punt p en principi substituirem la funció en el punt.

  • Si dóna un valor finit aquest serà el límit.
  • En cas que doni k geteilt durch 0  el límit serà plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen ó Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen en funció del signe de la k i del 0. Caldrà fer els límits laterals.
  • Si dóna 0 geteilt durch 0 es tracta d'una indeterminació que caldrà resoldre. Haurem de factoritzar numerador i denominadors, simplificar i després tornar a fer el límit. Les treballarem una mica més endavant.


Exemples

  • f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis  calculem els límits en els punts 3, 5 i -1.
    • Limes als x rechtspfeil 3 von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 3 von Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler 3 im Quadrat plus 3 mal 3 plus 2 geteilt durch Nenner 3 im Quadrat minus 4 mal 3 minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler 20 geteilt durch Nenner minus 8 Bruchergebnis gleich minus 5 geteilt durch 2

    • Limes als x rechtspfeil 5 von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 5 von Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler 5 im Quadrat plus 3 mal 5 plus 2 geteilt durch Nenner 5 im Quadrat minus 4 mal 5 minus 5 Bruchergebnis gleich 42 geteilt durch 0  com dividim per 0, serà plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen ó Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen . Caldrà estudiar els límits laterals per saber-ho.


         Limes als x rechtspfeil 5 hoch minus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 5 hoch minus von Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler linke klammer 4 Komma 99 rechte klammer im Quadrat plus 3 mal linke klammer 4 Komma 99 rechte klammer plus 2 geteilt durch Nenner linke klammer 4 Komma 99 rechte klammer im Quadrat minus 4 mal linke klammer 4 Komma 99 rechte klammer minus 5 Bruchergebnis gleich 42 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen

         Limes als x rechtspfeil 5 hoch plus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 5 hoch plus von Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler linke klammer 5 Komma 01 rechte klammer im Quadrat plus 3 mal linke klammer 5 Komma 01 rechte klammer plus 2 geteilt durch Nenner linke klammer 5 Komma 01 rechte klammer im Quadrat minus 4 mal linke klammer 5 Komma 01 rechte klammer minus 5 Bruchergebnis gleich 42 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen

         Com els dos límits laterals prenen valors diferents, el límit en 5 no existeix.

    • Limes als x rechtspfeil minus 1 von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus 1 von Zähler x im Quadrat plus 3 x plus 2 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 4 x minus 5 Bruchergebnis gleich Zähler linke klammer minus 1 rechte klammer im Quadrat plus 3 mal linke klammer minus 1 rechte klammer plus 2 geteilt durch Nenner linke klammer minus 1 rechte klammer im Quadrat minus 4 mal linke klammer minus 1 rechte klammer minus 5 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen i n d e t e r m i n a c i ó
      Aprendrem més endavant a resoldre aquest tipus d'indeterminacions.

Límits a infinit

Per fer límits a plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen ó Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

a unterer Index n x hoch n del polinomi P(x) i en b unterer Index m x hoch m del polinomi Q(x)

El límit final dependrà del grau de la següent manera:

Feld eingeschlossen Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler P linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner Q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a unterer Index n x hoch n geteilt durch Nenner b unterer Index m x hoch m Bruchergebnis gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen o Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen s i Leerzeichen g r a u Leerzeichen n u m e r a d o r größer als g r a u Leerzeichen d e l Leerzeichen d e n o m i n a d o r Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Zeile Zelle 0 Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen g r a u Leerzeichen n u m e r a d o r kleiner als g r a u Leerzeichen d e l Leerzeichen d e n o m i n a d o r Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Zeile Zelle a unterer Index n geteilt durch b unterer Index m Leerzeichen s i Leerzeichen g r a u Leerzeichen n u m e r a d o r gleich g r a u Leerzeichen d e l Leerzeichen d e n o m i n a d o r Leerzeichen Ende Zelle Ende Tabelle schließen Ende


El signe de l'infinit caldrà estudiar-lo amb detall seguint el que s'ha comentat amb les funcions polinòmiques i la regla dels signes.

Exemples
  • f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler minus x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x im Quadrat plus 4 x minus 1 Bruchergebnis

Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x im Quadrat plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 2 Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen  el signe és negatiu perquè el numerador és negatiu i denominador positiu


Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x im Quadrat plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 2 Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen , observem que en aquest cas, el numerador tindria signe + i el denominador també i per això el quocient és +.

  • f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch 5 plus 4 x minus 1 Bruchergebnis
Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch 5 plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x hoch 5 Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 5 Bruchergebnis gleich 0
Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch 5 plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x hoch 5 Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 5 Bruchergebnis gleich 0


  • f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch drei plus 4 x minus 1 Bruchergebnis

    Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch drei plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x hoch drei Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 3 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 3
    Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei plus 2 x im Quadrat minus 5 geteilt durch Nenner 3 x hoch drei plus 4 x minus 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 3 x hoch drei Bruchergebnis gleich Zähler g r a u 3 geteilt durch Nenner g r a u Leerzeichen 3 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 3
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