Límits: Límits de funcions racionals

Límits de funcions racionals

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis $f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}$

on $P parèntesi esquerre x parèntesi dret igual a subíndex n x elevat a n més a subíndex n menys 1 fi subíndex x elevat a n menys 1 fi elevat més... més a subíndex 1 x més a subíndex 0 espai a m b espai a subíndex i espai espai fi subíndex pertany R.$

on $Q parèntesi esquerre x parèntesi dret igual b subíndex m x elevat a m més b subíndex m menys 1 fi subíndex x elevat a m menys 1 fi elevat més... més b subíndex 1 x més b subíndex 0 espai a m b espai b subíndex i espai espai fi subíndex pertany R.$

Límits en un punt

Per fer els límits en un punt p en principi substituirem la funció en el punt.

Si dóna un valor finit aquest serà el límit.
En cas que doni $fracció k entre 0$ el límit serà $més infinit espai ó espai menys infinit$ en funció del signe de la k i del 0. Caldrà fer els límits laterals.
Si dóna $fracció 0 entre 0$ es tracta d'una indeterminació que caldrà resoldre. Haurem de factoritzar numerador i denominadors, simplificar i després tornar a fer el límit. Les treballarem una mica més endavant.

Exemples

calculem els límits en els punts 3, 5 i -1.
- $límit quan x fletxa dreta 3 de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta 3 de fracció numerador x al quadrat més 3 x més 2 entre denominador x al quadrat menys 4 x menys 5 fi fracció igual fracció numerador 3 al quadrat més 3 per 3 més 2 entre denominador 3 al quadrat menys 4 per 3 menys 5 fi fracció igual fracció numerador 20 entre denominador menys 8 fi fracció igual menys fracció 5 entre 2$
- $límit quan x fletxa dreta 5 de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta 5 de fracció numerador x al quadrat més 3 x més 2 entre denominador x al quadrat menys 4 x menys 5 fi fracció igual fracció numerador 5 al quadrat més 3 per 5 més 2 entre denominador 5 al quadrat menys 4 per 5 menys 5 fi fracció igual fracció 42 entre 0$ com dividim per 0, serà $més infinit espai ó espai menys infinit$ . Caldrà estudiar els límits laterals per saber-ho.
     Com els dos límits laterals prenen valors diferents, el límit en 5 no existeix.
- $límit quan x fletxa dreta menys 1 de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta menys 1 de fracció numerador x al quadrat més 3 x més 2 entre denominador x al quadrat menys 4 x menys 5 fi fracció igual fracció numerador parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat més 3 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més 2 entre denominador parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat menys 4 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret menys 5 fi fracció igual fracció 0 entre 0 espai i n d e t e r m i n a c i ó$
  Aprendrem més endavant a resoldre aquest tipus d'indeterminacions.

Límits a infinit

Per fer límits a $més infinit espai ó espai menys infinit$ només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

$a subíndex n x elevat a n$ del polinomi P(x) i en $b subíndex m x elevat a m$ del polinomi Q(x)

El límit final dependrà del grau de la següent manera:

$envoltori caixa límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador P parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador Q parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció igual límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador a subíndex n x elevat a n entre denominador b subíndex m x elevat a m fi fracció igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la més infinit espai o espai menys infinit espai s i espai g r a u espai n u m e r a d o r major que g r a u espai d e l espai d e n o m i n a d o r espai espai fi cel·la fila cel·la 0 espai espai s i espai espai espai espai espai espai g r a u espai n u m e r a d o r menor que g r a u espai d e l espai d e n o m i n a d o r espai espai fi cel·la fila cel·la fracció a subíndex n entre b subíndex m espai s i espai g r a u espai n u m e r a d o r igual g r a u espai d e l espai d e n o m i n a d o r espai fi cel·la fi taula tanca fi envoltori$

El signe de l'infinit caldrà estudiar-lo amb detall seguint el que s'ha comentat amb les funcions polinòmiques i la regla dels signes.

Exemples

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al quadrat més 4 x menys 1 fi fracció$

$límit quan x fletxa dreta més infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al quadrat més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador menys x al cub entre denominador 3 x al quadrat fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 2 fi fracció igual menys infinit$ el signe és negatiu perquè el numerador és negatiu i denominador positiu

límit quan x fletxa dreta menys infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador menys x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al quadrat més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador menys x al cub entre denominador 3 x al quadrat fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 2 fi fracció igual més infinit espai

, observem que en aquest cas, el numerador tindria signe + i el denominador també i per això el quocient és +.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x elevat a 5 més 4 x menys 1 fi fracció$

límit quan x fletxa dreta més infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x elevat a 5 més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador 2 x al cub entre denominador 3 x elevat a 5 fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 5 fi fracció igual 0

límit quan x fletxa dreta menys infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x elevat a 5 més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador 2 x al cub entre denominador 3 x elevat a 5 fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 5 fi fracció igual 0

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al cub més 4 x menys 1 fi fracció$

$límit quan x fletxa dreta més infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al cub més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta més infinit de fracció numerador 2 x al cub entre denominador 3 x al cub fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 3 fi fracció igual fracció 2 entre 3$
$límit quan x fletxa dreta menys infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador 2 x al cub més 2 x al quadrat menys 5 entre denominador 3 x al cub més 4 x menys 1 fi fracció igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de fracció numerador 2 x al cub entre denominador 3 x al cub fi fracció igual fracció numerador g r a u 3 entre denominador g r a u espai 3 fi fracció igual fracció 2 entre 3$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Límits de funcions racionals

Límits en un punt

Exemples

Límits a infinit

Exemples