Précédent

Continuïtat i tipus de discontinuïtat

Les funcions polinòmiques, exponencials, racionals, logarítmiques són contínues en tot el seu domini.
Com hem dit abans els punts que caldrà estudiar seran els punts frontera del domini i també els punts on les funcions definides a trossos canvien la seva definició.
Per a que una funció sigui contínua en un punt cal que passin aquestes tres coses:

  1. Existeixi f parenthèse gauche a parenthèse droite
  2. Existeixi el límit empilement l i m avec x flèche vers la droite a en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à L  i pren valor finit (per calcular aquest límit habitualment farem els límits laterals i comprovarem que coincideixin)
  3. El límit coincideixi amb el valor de la funció en el punt. f parenthèse gauche a parenthèse droite égal à L

Si alguna d'aquestes tres coses falla direm que la funció presenta una discontinuïtat en el punt.

Les discontinuïtats seran de diferent tipus segons quina d'aquestes tres coses falla.

Discontinuïtat evitable

Tindrem aquest tipus de discontinuïtat en el cas que existeixi el límit de la funció en el punt a (existeixen els dos límits laterals, són finits i coincideixen), però no coincideixi amb f(a) o bé no existeix f(a). cadre englobant il existe espace empilement l i m avec x flèche vers la droite a en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite pas égal à f parenthèse gauche a parenthèse droite espace o espace b é espace il existe espace empilement l i m avec x flèche vers la droite a en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite espace p e r ò espace il n ' existe pas espace f parenthèse gauche a parenthèse droite fin

Es diu evitable justament perquè es podria evitar si definíssim la funció de manera que  f parenthèse gauche a parenthèse droite égal à L

Observant aquestes imatges veiem que si definíssim f(a) de manera que completes el punt obert del gràfic aconseguiríem que aquesta es pogués dibuixar sense aixecar el llapis del paper, aconseguiríem per tant que fos una funció contínua.


Discontinuïtat de salt finit

Tindrem una discontinuïtat d'aquest tipus en cas que els límits laterals en el punt existeixin però valguin valors diferents.

cadre englobant il existe espace e l s espace d o s espace l í m i t s espace l a t e r a l s virgule espace p e r ò espace empilement l i m avec x flèche vers la droite a puissance plus en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite pas égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite a puissance moins en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite fin


Observem en el gràfic d'exemple, que presenta un salt en el punt a. Si ens acostem a a per la dreta o per l'esquerra es tendeix a valors diferents.


Discontinuïtat de salt infinit

Si els límits laterals d'una funció en un punt existeixen, però almenys un pren valor infinit direm que tenim una discontinuïtat de salt infinit.

Aquest tipus de discontinuïtat indiquen l'existència d'una asímptota vertical x=a almenys per un dels dos costats, és per això que aquest tipus de discontinuïtat també es coneix com discontinuïtat asimptòtica.

Précédent