Previous

Continuïtat i tipus de discontinuïtat

Les funcions polinòmiques, exponencials, racionals, logarítmiques són contínues en tot el seu domini.
Com hem dit abans els punts que caldrà estudiar seran els punts frontera del domini i també els punts on les funcions definides a trossos canvien la seva definició.
Per a que una funció sigui contínua en un punt cal que passin aquestes tres coses:

  1. Existeixi f left parenthesis a right parenthesis
  2. Existeixi el límit stack l i m with x rightwards arrow a below f left parenthesis x right parenthesis equals L  i pren valor finit (per calcular aquest límit habitualment farem els límits laterals i comprovarem que coincideixin)
  3. El límit coincideixi amb el valor de la funció en el punt. f left parenthesis a right parenthesis equals L

Si alguna d'aquestes tres coses falla direm que la funció presenta una discontinuïtat en el punt.

Les discontinuïtats seran de diferent tipus segons quina d'aquestes tres coses falla.

Discontinuïtat evitable

Tindrem aquest tipus de discontinuïtat en el cas que existeixi el límit de la funció en el punt a (existeixen els dos límits laterals, són finits i coincideixen), però no coincideixi amb f(a) o bé no existeix f(a). box enclose there exists space stack l i m with x rightwards arrow a below f left parenthesis x right parenthesis not equal to f left parenthesis a right parenthesis space o space b é space there exists space stack l i m with x rightwards arrow a below f left parenthesis x right parenthesis space p e r ò space there does not exist space f left parenthesis a right parenthesis end enclose

Es diu evitable justament perquè es podria evitar si definíssim la funció de manera que  f left parenthesis a right parenthesis equals L

Observant aquestes imatges veiem que si definíssim f(a) de manera que completes el punt obert del gràfic aconseguiríem que aquesta es pogués dibuixar sense aixecar el llapis del paper, aconseguiríem per tant que fos una funció contínua.


Discontinuïtat de salt finit

Tindrem una discontinuïtat d'aquest tipus en cas que els límits laterals en el punt existeixin però valguin valors diferents.

box enclose there exists space e l s space d o s space l í m i t s space l a t e r a l s comma space p e r ò space stack l i m with x rightwards arrow a to the power of plus below f left parenthesis x right parenthesis not equal to stack l i m with x rightwards arrow a to the power of minus below f left parenthesis x right parenthesis end enclose


Observem en el gràfic d'exemple, que presenta un salt en el punt a. Si ens acostem a a per la dreta o per l'esquerra es tendeix a valors diferents.


Discontinuïtat de salt infinit

Si els límits laterals d'una funció en un punt existeixen, però almenys un pren valor infinit direm que tenim una discontinuïtat de salt infinit.

Aquest tipus de discontinuïtat indiquen l'existència d'una asímptota vertical x=a almenys per un dels dos costats, és per això que aquest tipus de discontinuïtat també es coneix com discontinuïtat asimptòtica.

Previous