Anterior

Continuïtat i tipus de discontinuïtat

Les funcions polinòmiques, exponencials, racionals, logarítmiques són contínues en tot el seu domini.
Com hem dit abans els punts que caldrà estudiar seran els punts frontera del domini i també els punts on les funcions definides a trossos canvien la seva definició.
Per a que una funció sigui contínua en un punt cal que passin aquestes tres coses:

  1. Existeixi f parèntesi esquerre a parèntesi dret
  2. Existeixi el límit pila l i m amb x fletxa dreta a a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual L  i pren valor finit (per calcular aquest límit habitualment farem els límits laterals i comprovarem que coincideixin)
  3. El límit coincideixi amb el valor de la funció en el punt. f parèntesi esquerre a parèntesi dret igual L

Si alguna d'aquestes tres coses falla direm que la funció presenta una discontinuïtat en el punt.

Les discontinuïtats seran de diferent tipus segons quina d'aquestes tres coses falla.

Discontinuïtat evitable

Tindrem aquest tipus de discontinuïtat en el cas que existeixi el límit de la funció en el punt a (existeixen els dos límits laterals, són finits i coincideixen), però no coincideixi amb f(a) o bé no existeix f(a). envoltori caixa existeix espai pila l i m amb x fletxa dreta a a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret no igual f parèntesi esquerre a parèntesi dret espai o espai b é espai existeix espai pila l i m amb x fletxa dreta a a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai p e r ò espai no existeix espai f parèntesi esquerre a parèntesi dret fi envoltori

Es diu evitable justament perquè es podria evitar si definíssim la funció de manera que  f parèntesi esquerre a parèntesi dret igual L

Observant aquestes imatges veiem que si definíssim f(a) de manera que completes el punt obert del gràfic aconseguiríem que aquesta es pogués dibuixar sense aixecar el llapis del paper, aconseguiríem per tant que fos una funció contínua.


Discontinuïtat de salt finit

Tindrem una discontinuïtat d'aquest tipus en cas que els límits laterals en el punt existeixin però valguin valors diferents.

envoltori caixa existeix espai e l s espai d o s espai l í m i t s espai l a t e r a l s coma espai p e r ò espai pila l i m amb x fletxa dreta a elevat a més a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret no igual pila l i m amb x fletxa dreta a elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret fi envoltori


Observem en el gràfic d'exemple, que presenta un salt en el punt a. Si ens acostem a a per la dreta o per l'esquerra es tendeix a valors diferents.


Discontinuïtat de salt infinit

Si els límits laterals d'una funció en un punt existeixen, però almenys un pren valor infinit direm que tenim una discontinuïtat de salt infinit.

Aquest tipus de discontinuïtat indiquen l'existència d'una asímptota vertical x=a almenys per un dels dos costats, és per això que aquest tipus de discontinuïtat també es coneix com discontinuïtat asimptòtica.

Anterior