Anterior
Següent

Límits laterals

De vegades, quan calculem el valor d'un límit ens interessa distingir si ens acostem al punt per la seva dreta o per la seva esquerra i això ho anomenem límits laterals.

Sempre podem fer els límits laterals, però és imprescindible fer-ho quan la funció té, en el punt de tendència, un canvi de definició o bé és un punt que no pertany al domini.


Farem servir la següent notació per referir-nos al límit o límits laterals d'una funció en un punt p. 

          pila l i m amb x fletxa dreta p a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret    límit quan la x tendeix a p  

       Límit per la dreta:  ens apropem a p amb valors més grans que p  
                   pila l i m amb x fletxa dreta p elevat a més a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret     límit quan la x tendeix a p per la dreta

       Límit per l'esquerra: ens apropem a p amb valors més petits que p 
                 pila l i m amb x fletxa dreta p elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret límit de la funció f quan la x tendeix a p per l'esquerra

      envoltori caixa E x i s t e i x espai e l espai l í m i t espai d apòstrof u n a espai f u n c i ó espai e n espai u n espai p u n t espai fletxa doble esquerra i dreta E x i s t e i x e n espai e l s espai d o s espai l í m i t s espai l a t e r a l s espai i espai c o i n c i d e i x e n. fi envoltori 


Si fem un límit i arribem a una expressió de tipus  fracció k entre 0 caldrà mirar el "signe" d'aquest 0 substituint l'expressió que dóna el 0 per valors molt propers a x=a.

El resultat pot ser un nombre molt proper a 0 però positiu (0+) o bé negatiu (0-).

En aquest cas dependrà també del valor de k per decidir el signe del resultat final. Per exemple:

fracció 3 entre 0 elevat a més igual més infinit coma espai espai espai fracció 3 entre 0 elevat a menys igual menys infinit coma espai espai fracció numerador menys 3 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit espai i espai espai espai fracció numerador menys 3 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit


Exemples

 límit quan x fletxa dreta 1 de fracció numerador x menys 3 entre denominador x menys 1 fi fracció igual fracció numerador 1 menys 3 entre denominador 1 menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 fi fracció igual infinit espai

       Potser amb aquest resultat tenim prou. Si volem determinar el signe d'aquest infinit, hem de fer els límits laterals: 


         .   Límit per la dreta:       pila lim espai espai amb x fletxa dreta 1 elevat a més a sota espai fracció numerador x menys 3 entre denominador x menys 1 fi fracció igual fracció numerador 1 menys 3 entre denominador 1 elevat a més menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit espai                                      

         .   Límit per l'esquerra:    pila lim espai espai amb x fletxa dreta 1 elevat a menys a sota espai fracció numerador x menys 3 entre denominador x menys 1 fi fracció igual fracció numerador 1 menys 3 entre denominador 1 elevat a menys menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit espai

       


  • límit quan x fletxa dreta 1 elevat a més de fracció numerador menys 2 x entre denominador x menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 fi fracció

Substituïm en l'expressió x-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva dreta per exemple 1'000001.

1 apòstrof 000001 menys 1 igual 0 apòstrof 000001  

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0+) i per tant ja podem dir .

límit quan x fletxa dreta 1 elevat a més de fracció numerador menys 2 x entre denominador x menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit


  • límit quan x fletxa dreta 1 elevat a menys de fracció numerador menys 2 x entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 fi fracció

Substituïm en l'expressió x2-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva esquerra per exemple 0'99999.

parèntesi esquerre 0 apòstrof 99999 parèntesi dret al quadrat menys 1 igual menys 0 apòstrof 00002  

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0-) i per tant ja podem dir .

límit quan x fletxa dreta 1 elevat a menys de fracció numerador menys 2 x entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit

 

  • límit quan x fletxa dreta menys 2 elevat a menys de espai fracció numerador x més 3 entre denominador 4 menys x al quadrat fi fracció igual fracció 1 entre 0

Substituïm en l'expressió 4 menys x al quadrat la x per un nombre molt proper a -2 per la seva esquerra per exemple -2'000001.

4 menys parèntesi esquerre menys 2 apòstrof 000001 parèntesi dret al quadrat igual menys 0 apòstrof 000004  

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0-) i per tant ja podem dir .

límit quan x fletxa dreta menys 2 elevat a menys de espai fracció numerador x més 3 entre denominador 4 menys x al quadrat fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a menys igual menys infinit

  • límit quan x fletxa dreta menys 2 elevat a més de espai fracció numerador x més 3 entre denominador 4 menys x al quadrat fi fracció igual fracció 1 entre 0

Substituïm en l'expressió 4 menys x al quadrat la x per un nombre molt proper a -2 per la seva dreta per exemple -1'99999.

4 menys parèntesi esquerre menys 1 apòstrof 99999 parèntesi dret al quadrat igual 0 apòstrof 000004  

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0+) i per tant ja podem dir .

límit quan x fletxa dreta menys 2 elevat a més de espai fracció numerador x més 3 entre denominador 4 menys x al quadrat fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a més igual més infinit


Anterior
Següent