Anterior
Següent

Continuïtat d'una funció

Una funció és contínua si la poden dibuixar sense aixecar el llapis del paper. En els punts on sigui necessari aixecar el llapis de paper serà discontínua.

Si de la funció es coneix la gràfica és fàcil respondre a les preguntes: És una funció contínua? I si és discontínua, en quins punts és discontínua? Quins tipus de discontinuïtat té la funció?

Observeu aquests exemples:

Funció contínua Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat evitable

Aquesta funció és contínua ja que:

\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x)={\lim} \limits_{x\to {x_0}^+} f(x)=f(x)

Aquesta funció no és contínua. Ell punt (x0, f(x0)) fa que sigui

discontínua. Els límits laterals (les dues branques) coincideixen.

\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x)={\lim} \limits_{x\to {x_0}^+} f(x)\neq f(x)
Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat de salt Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat asimptòtica

Aquesta funció no és contínua. Les dues branques no es troben.

Això fa que la funció sigui discontínua. I ell punt (x0, f(x0)) està situat

sobre una de les dues branques. Hi ha un salt.

\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x)\neq {\lim} \limits_{x\to {x_0}^+} f(x)=f(x)

Aquesta funció no és contínua. Ell punt (x0, f(x0)) no existeix, no és del

domini de la funció. Les dues branques no es troben i s'enfilen cap al ∞.

Tot això fa que sigui discontínua.

\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x)\neq{\lim} \limits_{x\to {x_0}^+} f(x) i a més

\small f(x) no existeix.

Però en la majoria de les ocasions volem saber si la funció és contínua sense tenir la seva representació gràfica. És més, necessitem saber la continuïtat de la funció per tal de trobar de manera més fàcil la seva gràfica.

És per això que estudiarem la continuïtat de la funció o bé a partir de la seva gràfica o bé a partir de l'equació i amb l'ajut dels límits.

Què hem de fer per estudiar en quins punts la funció és discontínua?

Bàsicament ens fixarem en punts on la funció no estigui definida (que no pertanyin al domini) o punts on canviï la definició de la funció (funcions definides a trossos).

En aquests punts farem el següent estudi:

  • calcularem els dos límits laterals.
  • calcularem el valor de la funció en el punt
  • Si les tres coses existeixen i coincideixen la funció serà contínua.
    Anterior
    Següent