Límits: Límits en funcions polinòmiques

Límits de funcions polinòmiques

En general, si coneixem l'expressió algebraica de la funció per calcular-ne el límit en un punt substituirem la funció en el punt.

Anem a veure com calcular límits segons el tipus de funció que treballem. Comencem amb els polinomis i el seu cas particular les constants.

Funció constant

Si tenim una funció de tipus $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual k$ amb k un nombre real qualsevol exiteix límit de la funció en qualsevol punt (també a infinit) i el límit sempre val k.

Exemple

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 6$


$límit quan x fletxa dreta p de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta p de 6 espai igual espai 6 límit quan x fletxa dreta més infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta més infinit de 6 igual 6 límit quan x fletxa dreta menys infinit de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de 6 igual 6$

Funció polinòmica

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual a subíndex n x elevat a n més a subíndex n menys 1 fi subíndex x elevat a n menys 1 fi elevat més... més a subíndex 1 x més a espai a m b espai a subíndex i espai espai fi subíndex pertany R.$

Si volem calcular el límit d'una funció polinòmica en un punt només cal substituir la funció en el punt.

$pila l i m amb x fletxa dreta a a sota p parèntesi esquerre x parèntesi dret igual P parèntesi esquerre a parèntesi dret$

Els límits a infinit i a menys infinit de les funcions polinòmiques sempre serà +∞ o -∞ . Caldrà estudiar amb cura el signe.

A l'infinit ens interessa sempre el terme de grau màxim, aquest serà el terme que marcarà la tendència de la funció.

Podem resumir-ho d'aquesta manera:

$pila l i m parèntesi esquerre amb x fletxa dreta més infinit a sota a subíndex n x elevat a n més a subíndex n menys 1 fi subíndex x elevat a n menys 1 fi elevat més... més a subíndex 1 x més a subíndex 0 parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta més infinit a sota a subíndex n x elevat a n igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la més infinit espai s i espai a subíndex n major que 0 fi cel·la fila cel·la menys infinit espai espai s i espai a subíndex n menor que 0 fi cel·la fi taula tanca$ $pila l i m parèntesi esquerre amb x fletxa dreta menys infinit a sota a subíndex n x elevat a bold italic n més a subíndex n menys 1 fi subíndex x elevat a n menys 1 fi elevat més... més a subíndex 1 x més a subíndex 0 parèntesi dret igual pila l i m amb x fletxa dreta menys infinit a sota a subíndex n x elevat a bold italic n igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la s i espai bold italic n espai p a r e l l espai fletxa dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la més infinit espai s i espai a subíndex n major que 0 fi cel·la fila cel·la menys infinit espai s i espai a subíndex n menor que 0 fi cel·la fi taula tanca fi cel·la fila cel·la s i espai bold italic n espai s e n a r fletxa dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la menys infinit espai s i espai a subíndex n major que 0 fi cel·la fila cel·la més infinit espai s i espai a subíndex n menor que 0 fi cel·la fi taula tanca fi cel·la fi taula tanca$ (cal recordar el signe de les potències amb base negativa i la llei dels signes). <h5>Exemple </h5> $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys x al cub menys x més 1$ Calculem el límit en els punts x=2 i x=-1 $límit quan x fletxa dreta 2 de menys x al cub menys x més 1 igual menys 2 al cub menys 2 més 1 igual menys 8 menys 2 més 1 igual menys 9 límit quan x fletxa dreta menys 1 de menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més 1 igual menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més 1 més 1 igual 1 més 1 més 1 igual 3$ Ara calculem els límits a $més infinit espai i espai menys infinit$ Observem que el coeficient de grau màxim de la funció és -1 i el grau del polinomi és 3, per tant senar. Volem calcular els límits: Comencem per fer una taula per saber la tendència de la funció: Primer posem valors de "x" que van creixent cap a l'infinit, i estudiem què passa amb les seves imatges, i observem que obtenim valors molt petits , ja que són negatius. A la taula de la dreta fem el mateix però amb valors negatius cada vegada més petits. <table style="margin-left: 90px;" border="0"> <tbody style="margin-left: 90px;"> <tr style="margin-left: 90px;"> <td style="border-style: solid; border-width: 1px; margin-left: 90px;" scope="col"></td> <td style="border-color: #000000; border-style: solid; border-width: 1px; margin-left: 90px;" scope="col"> $\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}$ $\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}$ x -x³-x+1 x -x³-x+1 10 -1009 -10 1011 100 -1000099 -100 1000101 1000 ... -1000 ... 10000 ... -10000 ... ↓ ↓ ↓ ↓ +∞ -∞ -∞ +∞ Per tant $\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}=- \infty$ Per tant $\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}=+ \infty$ És a dir:

$límit quan x fletxa dreta més infinit de menys x al cub menys x més 1 igual límit quan x fletxa dreta més infinit de menys x al cub igual menys parèntesi esquerre més infinit parèntesi dret al cub igual menys infinit límit quan x fletxa dreta menys infinit de menys x al cub menys x més 1 igual límit quan x fletxa dreta menys infinit de menys x al cub igual menys parèntesi esquerre menys infinit parèntesi dret al cub igual menys parèntesi esquerre menys infinit parèntesi dret igual més infinit$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Límits de funcions polinòmiques

Funció constant

Exemple

Funció polinòmica