Màquines i equilibri: Equilibri

3. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.

Es poden donar dues situacions:

1.- El cos està sotmès a forces concurrents

Direm que un cos sotmès a diferents forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

$début de style sur la même ligne somme pour blanc de F avec flèche vers la droite au-dessus égal à 0 fin de style$

Si les forces tenen la mateixa direcció es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors utilitzant la trigonometria.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció:

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg. Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N

Exemple 1 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Determineu la tensió T₁ i T₂ que fa cada cable, si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T₁ i T₂ ha de donar una força igual a P. I com que el sistema és simètric: T₁ = T₂

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T₁ sin 45 + T₂ sin 45 = 2T sin 45

T égal à numérateur de la fraction P au-dessus du dénominateur 2 espace sin espace 45 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 147 virgule 2 au-dessus du dénominateur 2 espace sin espace 45 fin de la fraction égal à 104 virgule 1 espace N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

La forma més fàcil de resoldre l'exercici és descomposar la força en les coordenades x, y i després plantejar l'equació d'equilibri per a cada direcció.

$simple sigma majuscule F indice Y égal à 0$
$simple sigma majuscule F indice X égal à 0$

$T indice A Y fin d'indice égal à P égal à espace 616 espace N$

Com que tot és simètric:

$T indice C Y fin d'indice égal à T indice D Y fin d'indice$
$T indice C X fin d'indice égal à T indice D X fin d'indice$

Per $simple sigma majuscule F indice Y égal à 0$

$T indice A Y fin d'indice moins T indice C Y fin d'indice moins T indice D Y fin d'indice égal à 0$

$T indice A Y fin d'indice moins 2 T indice C Y fin d'indice égal à 0$

$T indice C Y fin d'indice égal à T indice A Y fin d'indice sur 2 égal à 616 sur 2 égal à 308 espace N$

$T indice C Y fin d'indice égal à T indice C espace sin espace 45$

$T indice C égal à T indice D égal à numérateur de la fraction T indice C Y fin d'indice au-dessus du dénominateur sin espace 45 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 308 au-dessus du dénominateur 0 virgule 7071 fin de la fraction égal à 435 virgule 6 espace N$

2.- El cos està sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero $simple sigma majuscule F égal à 0$ , també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero $simple sigma majuscule M indice O égal à 0 espace espace flèche vers la droite espace espace F indice 1 fois d indice 1 plus espace F indice 2 fois d indice 2 plus... plus espace F indice n fois d indice n égal à 0$

Exemple 1 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la longitud de la barra és L =1 ,4 m i l’angle és α = 45º. Determineu la força F_B que fa el tirant.

Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant F_B

- La força que fa el recolzament sobre l'articulació en A R_A.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

$simple sigma majuscule M indice A égal à 0 espace espace$

Cal recordar el signe triat segons el sentit de gir. Tan és quin trieu, però l'heu de mantenir per a tot el problema. Per exemple, si triem antihorari positiu i horari negatiu, seria:

F_B respecte A és positiu.
P respecte A és negatiu.
R_A no dona moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

$R indice A fois 0 moins P fois ouvrir la parenthèse L sur 2 fois cos espace 45 fermer la parenthèse plus F indice B fois L fois sin espace 45 égal à 0$

$F indice B égal à numérateur de la fraction P fois ouvrir la parenthèse début de style affichage L sur 2 fin de style fois cos espace 45 fermer la parenthèse au-dessus du dénominateur L fois sin espace 45 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 1000 fois ouvrir la parenthèse début de style affichage numérateur de la fraction 1 virgule 4 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fin de style fois cos espace 45 fermer la parenthèse au-dessus du dénominateur 1 virgule 4 fois sin espace 45 fin de la fraction égal à 500 espace N$

Per a calcular el valor de la força a R_A caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecte un altre punt.

Exemple 2 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

Considerem el següent gronxador i trobem F₁ i R_O per tal que es mantingui en repòs:

Aquí cal plantejar la suma de moments respecte el punt O igual a zero, és a dir, les forces multiplicades per la distància perpendicular des de O . A més el moment que fa cada força ha de portar signe positiu o negatiu segons el sentit del gir que provocaria: el pes de 300 N fa girar el gronxador en un sentit i la Força F₁ en una altre. Agafem ara positiu si gira en el sentit de les agulles del rellotge.

I ara per a calcular la força de reacció en el recolzament R_O cal fer la suma de forces respecte l'eix de les Y igual a zero. (En l'eix X no hi ha forces)

També podríem haver calculat primer R_O amb moments i després F₁ amb forces, o totes dues forces amb moments.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

3. Equilibri