Màquines i equilibri: Equilibri

3. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.

Es poden donar dues situacions:

1.- El cos està sotmès a forces concurrents

Direm que un cos sotmès a diferents forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

$begin inline style sum for blank of F with rightwards arrow on top equals 0 end style$

Si les forces tenen la mateixa direcció es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors utilitzant la trigonometria.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció:

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg. Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N

Exemple 1 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Determineu la tensió T₁ i T₂ que fa cada cable, si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T₁ i T₂ ha de donar una força igual a P. I com que el sistema és simètric: T₁ = T₂

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T₁ sin 45 + T₂ sin 45 = 2T sin 45

T equals fraction numerator P over denominator 2 space sin space 45 end fraction equals fraction numerator 147 comma 2 over denominator 2 space sin space 45 end fraction equals 104 comma 1 space N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

La forma més fàcil de resoldre l'exercici és descomposar la força en les coordenades x, y i després plantejar l'equació d'equilibri per a cada direcció.

$straight capital sigma F subscript Y equals 0$
$straight capital sigma F subscript X equals 0$

$T subscript A Y end subscript equals P equals space 616 space N$

Com que tot és simètric:

$T subscript C Y end subscript equals T subscript D Y end subscript$
$T subscript C X end subscript equals T subscript D X end subscript$

Per $straight capital sigma F subscript Y equals 0$

$T subscript A Y end subscript minus T subscript C Y end subscript minus T subscript D Y end subscript equals 0$

$T subscript A Y end subscript minus 2 T subscript C Y end subscript equals 0$

$T subscript C Y end subscript equals T subscript A Y end subscript over 2 equals 616 over 2 equals 308 space N$

$T subscript C Y end subscript equals T subscript C space sin space 45$

$T subscript C equals T subscript D equals fraction numerator T subscript C Y end subscript over denominator sin space 45 end fraction equals fraction numerator 308 over denominator 0 comma 7071 end fraction equals 435 comma 6 space N$

2.- El cos està sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero $straight capital sigma F equals 0$ , també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero $straight capital sigma M subscript O equals 0 space space rightwards arrow space space F subscript 1 times d subscript 1 plus space F subscript 2 times d subscript 2 plus... plus space F subscript n times d subscript n equals 0$

Exemple 1 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la longitud de la barra és L =1 ,4 m i l’angle és α = 45º. Determineu la força F_B que fa el tirant.

Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant F_B

- La força que fa el recolzament sobre l'articulació en A R_A.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

$straight capital sigma M subscript A equals 0 space space$

Cal recordar el signe triat segons el sentit de gir. Tan és quin trieu, però l'heu de mantenir per a tot el problema. Per exemple, si triem antihorari positiu i horari negatiu, seria:

F_B respecte A és positiu.
P respecte A és negatiu.
R_A no dona moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

$R subscript A times 0 minus P times open parentheses L over 2 times cos space 45 close parentheses plus F subscript B times L times sin space 45 equals 0$

$F subscript B equals fraction numerator P times open parentheses begin display style L over 2 end style times cos space 45 close parentheses over denominator L times sin space 45 end fraction equals fraction numerator 1000 times open parentheses begin display style fraction numerator 1 comma 4 over denominator 2 end fraction end style times cos space 45 close parentheses over denominator 1 comma 4 times sin space 45 end fraction equals 500 space N$

Per a calcular el valor de la força a R_A caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecte un altre punt.

Exemple 2 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

Considerem el següent gronxador i trobem F₁ i R_O per tal que es mantingui en repòs:

Aquí cal plantejar la suma de moments respecte el punt O igual a zero, és a dir, les forces multiplicades per la distància perpendicular des de O . A més el moment que fa cada força ha de portar signe positiu o negatiu segons el sentit del gir que provocaria: el pes de 300 N fa girar el gronxador en un sentit i la Força F₁ en una altre. Agafem ara positiu si gira en el sentit de les agulles del rellotge.

I ara per a calcular la força de reacció en el recolzament R_O cal fer la suma de forces respecte l'eix de les Y igual a zero. (En l'eix X no hi ha forces)

També podríem haver calculat primer R_O amb moments i després F₁ amb forces, o totes dues forces amb moments.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

3. Equilibri