Màquines i equilibri: Equilibri

3. Equilibri

L'equilibri d'un cos es produeix quan aquest està en repòs o en moviment uniforme, però en el nostre cas tan sols considerarem quan el cos estarà en repòs.

Es poden donar dues situacions:

1.- El cos està sotmès a forces concurrents

Direm que un cos sotmès a diferents forces concurrents en un punt està en equilibri quan la resultant de totes elles és zero.

$Anfang Inline Stil Summe für leer von F mit rechtspfeil darüber gleich 0 Ende Stil$

Si les forces tenen la mateixa direcció es poden sumar directament, però quan les forces tenen direccions diferents s'ha de fer una suma de vectors utilitzant la trigonometria.

Exemple de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents d'igual direcció:

La làmpada de la figura té una massa de m = 15 kg. Determineu la tensió de cable.

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

Per tant la tensió en el cable serà:

T = P = 147,2 N

Exemple 1 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Determineu la tensió T₁ i T₂ que fa cada cable, si el cos té una massa de m =15 kg.

La suma dels dos vectors de les forces T₁ i T₂ ha de donar una força igual a P. I com que el sistema és simètric: T₁ = T₂

P = m · g = 15 · 9,81 = 147,2 N

P = T₁ sin 45 + T₂ sin 45 = 2T sin 45

T gleich Zähler P geteilt durch Nenner 2 Leerzeichen sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 147 Komma 2 geteilt durch Nenner 2 Leerzeichen sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich 104 Komma 1 Leerzeichen N

Exemple 2 de càlcul d'equilibri d'un cos sotmès a forces concurrents de diverses direccions:

Una placa de metall rectangular de 2x1 metres, que pesa P = 616 N , està suspesa del sostre tal com es mostra a la figura. Determineu les forces que suporten els cables.

La forma més fàcil de resoldre l'exercici és descomposar la força en les coordenades x, y i després plantejar l'equació d'equilibri per a cada direcció.

$gerade sigma groß F unterer Index Y gleich 0$
$gerade sigma groß F unterer Index X gleich 0$

$T unterer Index A Y Ende unterer Index gleich P gleich Leerzeichen 616 Leerzeichen N$

Com que tot és simètric:

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index D Y Ende unterer Index$
$T unterer Index C X Ende unterer Index gleich T unterer Index D X Ende unterer Index$

Per $gerade sigma groß F unterer Index Y gleich 0$

$T unterer Index A Y Ende unterer Index minus T unterer Index C Y Ende unterer Index minus T unterer Index D Y Ende unterer Index gleich 0$

$T unterer Index A Y Ende unterer Index minus 2 T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich 0$

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index A Y Ende unterer Index geteilt durch 2 gleich 616 geteilt durch 2 gleich 308 Leerzeichen N$

$T unterer Index C Y Ende unterer Index gleich T unterer Index C Leerzeichen sin Leerzeichen 45$

$T unterer Index C gleich T unterer Index D gleich Zähler T unterer Index C Y Ende unterer Index geteilt durch Nenner sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 308 geteilt durch Nenner 0 Komma 7071 Bruchergebnis gleich 435 Komma 6 Leerzeichen N$

2.- El cos està sotmès a forces NO concurrents

En aquest cas per tal d'assegurar que el cos estigui en repòs no és suficient que la suma de forces sigui igual a zero $gerade sigma groß F gleich 0$ , també s'ha de complir que la suma de moments que fan les forces respecte qualsevol punt del cos ha de ser també igual a zero $gerade sigma groß M unterer Index O gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen F unterer Index 1 mal d unterer Index 1 plus Leerzeichen F unterer Index 2 mal d unterer Index 2 plus... plus Leerzeichen F unterer Index n mal d unterer Index n gleich 0$

Exemple 1 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

En el sistema de la figura el pes de la barra és de P = 1000 N, la longitud de la barra és L =1 ,4 m i l’angle és α = 45º. Determineu la força F_B que fa el tirant.

Les forces que actuen sobre la barra són:

- El pes de la barra P

- La força del tirant F_B

- La força que fa el recolzament sobre l'articulació en A R_A.

Com que podem escollir el punt sobre el que calculem el moment, triem el que és més fàcil per nosaltres. En aquest cas triem el punt A perquè la força aplicada en aquest punt té dos components i s'anul·larà.

$gerade sigma groß M unterer Index A gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen$

Cal recordar el signe triat segons el sentit de gir. Tan és quin trieu, però l'heu de mantenir per a tot el problema. Per exemple, si triem antihorari positiu i horari negatiu, seria:

F_B respecte A és positiu.
P respecte A és negatiu.
R_A no dona moment perquè la seva distància fins a A és d = 0.

$R unterer Index A mal 0 minus P mal Klammer öffnen L geteilt durch 2 mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen plus F unterer Index B mal L mal sin Leerzeichen 45 gleich 0$

$F unterer Index B gleich Zähler P mal Klammer öffnen Anfang Anzeige Stil L geteilt durch 2 Ende Stil mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen geteilt durch Nenner L mal sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich Zähler 1000 mal Klammer öffnen Anfang Anzeige Stil Zähler 1 Komma 4 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis Ende Stil mal cos Leerzeichen 45 Klammer schließen geteilt durch Nenner 1 Komma 4 mal sin Leerzeichen 45 Bruchergebnis gleich 500 Leerzeichen N$

Per a calcular el valor de la força a R_A caldria plantejar ara l'equació de la suma de forces igual a zero, o bé tornar a fer els moments respecte un altre punt.

Exemple 2 de càlcul de moments en un cas d'equilibri d'un cos:

Considerem el següent gronxador i trobem F₁ i R_O per tal que es mantingui en repòs:

Aquí cal plantejar la suma de moments respecte el punt O igual a zero, és a dir, les forces multiplicades per la distància perpendicular des de O . A més el moment que fa cada força ha de portar signe positiu o negatiu segons el sentit del gir que provocaria: el pes de 300 N fa girar el gronxador en un sentit i la Força F₁ en una altre. Agafem ara positiu si gira en el sentit de les agulles del rellotge.

I ara per a calcular la força de reacció en el recolzament R_O cal fer la suma de forces respecte l'eix de les Y igual a zero. (En l'eix X no hi ha forces)

També podríem haver calculat primer R_O amb moments i després F₁ amb forces, o totes dues forces amb moments.

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

3. Equilibri