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Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 2

El nombre d'unitats d'un article fabricades cada mes, x, influeix en el preu en euros de cada unitat segons la funció: 

                           bold italic P gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à gras 580 gras moins gras x puissance gras 2 sur gras 16000

Sabent que la fabricació té unes despeses fixes de 250000 euros i unes despeses variables de 125 euros per cada unitat produïda: 

a) Trobeu la fórmula de la funció B(x) que expressa el benefici obtingut per la venda de x unitats (ingressos obtinguts menys despeses totals)

    Obtenim els ingressos, I(x), multiplicant el nombre d'unitats pel seu preu, x.

    I parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x fois ouvrir la parenthèse 580 moins x au carré sur 16000 fermer la parenthèse égal à 580 x moins x au cube sur 16000    

    Les despeses són: 

     D parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 250000 plus 125 x

     La funció benefici és: 

     B parenthèse gauche x parenthèse droite égal à I parenthèse gauche x parenthèse droite moins D parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 580 x moins x au cube sur 16000 moins 250000 moins 125 x cadre englobant espace B parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 455 x moins x au cube sur 16000 moins 250000 espace espace fin

b) Calculeu quantes unitats cal fabricar per obtenir el màxim benefici. 

     Per obtenir el màxim d'aquesta funció, fem la derivada i la igualem a zero: 

      B apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 455 moins numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 16000 fin de la fraction égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace numérateur de la fraction 3 x au carré au-dessus du dénominateur 16000 fin de la fraction égal à 455 espace espace double flèche vers la droite espace espace x au carré égal à numérateur de la fraction 455 fois 16000 au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x égal à plus ou moins début de racine carrée de numérateur de la fraction 455 fois 16000 au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction fin de racine égal à plus ou moins 1557 virgule 78 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace cadre englobant espace espace x égal à 1558 espace espace fin  

       Observació: l'equació B'(x)=0 té dues solucions: ±1557,78 però agafem només la positiva ja que                          ha de ser un nombre natural i hem d'agafar el nombre enter més pròxim a 1557,78 que ens                      doni benefici màxim. Si calculem B(1558) i B(1557) veiem que  B(1558)>B(1557). Per tan, la                          solució és 1558 unitats. 

                I podem comprovar que, efectivament, és un màxim: 

                B apostrophe apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins numérateur de la fraction 6 x au-dessus du dénominateur 16000 fin de la fraction B apostrophe apostrophe parenthèse gauche 1558 parenthèse droite inférieur à 0 espace espace double flèche vers la droite espace espace espace és espace màxim  

  

                             

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