Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 2

El nombre d'unitats d'un article fabricades cada mes, x, influeix en el preu en euros de cada unitat segons la funció: 

                           bold italic P negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 580 negrita menos fracción negrita x elevado a negrita 2 entre negrita 16000

Sabent que la fabricació té unes despeses fixes de 250000 euros i unes despeses variables de 125 euros per cada unitat produïda: 

a) Trobeu la fórmula de la funció B(x) que expressa el benefici obtingut per la venda de x unitats (ingressos obtinguts menys despeses totals)

    Obtenim els ingressos, I(x), multiplicant el nombre d'unitats pel seu preu, x.

    I paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x por abrir paréntesis 580 menos fracción x al cuadrado entre 16000 cerrar paréntesis igual 580 x menos fracción x al cubo entre 16000    

    Les despeses són: 

     D paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 250000 más 125 x

     La funció benefici és: 

     B paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual I paréntesis izquierdo x paréntesis derecho menos D paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 580 x menos fracción x al cubo entre 16000 menos 250000 menos 125 x
envoltorio caja espacio B paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 455 x menos fracción x al cubo entre 16000 menos 250000 espacio espacio fin envoltorio

b) Calculeu quantes unitats cal fabricar per obtenir el màxim benefici. 

     Per obtenir el màxim d'aquesta funció, fem la derivada i la igualem a zero: 

      B apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 455 menos fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 16000 fin fracción igual 0 espacio espacio
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio fracción numerador 3 x al cuadrado entre denominador 16000 fin fracción igual 455 espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio x al cuadrado igual fracción numerador 455 por 16000 entre denominador 3 fin fracción espacio espacio espacio flecha doble derecha
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio x igual más-menos raíz cuadrada de fracción numerador 455 por 16000 entre denominador 3 fin fracción fin raíz igual más-menos 1557 coma 78
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio envoltorio caja espacio espacio x igual 1558 espacio espacio fin envoltorio  

       Observació: l'equació B'(x)=0 té dues solucions: ±1557,78 però agafem només la positiva ja que                          ha de ser un nombre natural i hem d'agafar el nombre enter més pròxim a 1557,78 que ens                      doni benefici màxim. Si calculem B(1558) i B(1557) veiem que  B(1558)>B(1557). Per tan, la                          solució és 1558 unitats. 

                I podem comprovar que, efectivament, és un màxim: 

                B apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos fracción numerador 6 x entre denominador 16000 fin fracción
B apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo 1558 paréntesis derecho menor que 0 espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio és espacio màxim