Zurück
Weiter

Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 2

El nombre d'unitats d'un article fabricades cada mes, x, influeix en el preu en euros de cada unitat segons la funció: 

                           bold italic P fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich fett 580 fett minus fett x hoch fett 2 geteilt durch fett 16000

Sabent que la fabricació té unes despeses fixes de 250000 euros i unes despeses variables de 125 euros per cada unitat produïda: 

a) Trobeu la fórmula de la funció B(x) que expressa el benefici obtingut per la venda de x unitats (ingressos obtinguts menys despeses totals)

    Obtenim els ingressos, I(x), multiplicant el nombre d'unitats pel seu preu, x.

    I linke klammer x rechte klammer gleich x mal Klammer öffnen 580 minus x im Quadrat geteilt durch 16000 Klammer schließen gleich 580 x minus x hoch drei geteilt durch 16000    

    Les despeses són: 

     D linke klammer x rechte klammer gleich 250000 plus 125 x

     La funció benefici és: 

     B linke klammer x rechte klammer gleich I linke klammer x rechte klammer minus D linke klammer x rechte klammer gleich 580 x minus x hoch drei geteilt durch 16000 minus 250000 minus 125 x Feld eingeschlossen Leerzeichen B linke klammer x rechte klammer gleich 455 x minus x hoch drei geteilt durch 16000 minus 250000 Leerzeichen Leerzeichen Ende

b) Calculeu quantes unitats cal fabricar per obtenir el màxim benefici. 

     Per obtenir el màxim d'aquesta funció, fem la derivada i la igualem a zero: 

      B apostroph linke klammer x rechte klammer gleich 455 minus Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 16000 Bruchergebnis gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Zähler 3 x im Quadrat geteilt durch Nenner 16000 Bruchergebnis gleich 455 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat gleich Zähler 455 mal 16000 geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x gleich plusminus Quadratwurzel aus Zähler 455 mal 16000 geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Wurzelende gleich plusminus 1557 Komma 78 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen x gleich 1558 Leerzeichen Leerzeichen Ende  

       Observació: l'equació B'(x)=0 té dues solucions: ±1557,78 però agafem només la positiva ja que                          ha de ser un nombre natural i hem d'agafar el nombre enter més pròxim a 1557,78 que ens                      doni benefici màxim. Si calculem B(1558) i B(1557) veiem que  B(1558)>B(1557). Per tan, la                          solució és 1558 unitats. 

                I podem comprovar que, efectivament, és un màxim: 

                B apostroph apostroph linke klammer x rechte klammer gleich minus Zähler 6 x geteilt durch Nenner 16000 Bruchergebnis B apostroph apostroph linke klammer 1558 rechte klammer kleiner als 0 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen és Leerzeichen màxim  

  

                             

Zurück
Weiter