Précédent

Problemes optimització funció 2 variables

En general en aquest problemes d'optimització amb dues variables els passos a seguir són:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar F(x,y)

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables i que ens permet expressar una variable en funció de l'altre.

c) Substituir aquesta variable (expressada en funció de l'altre) en la funció a optimitzar de manera que aquesta ja serà funció d'una sola variable.

d) Igualar a zero la derivada.

Exemple

Volem tancar un camp rectangular que és al costat d'un camí. La tanca del costat del camí costa 5€/m i la dels altres tres costats, 3€/m. Calcula l'àrea del camp de màxima superfície que podem tancar amb 1600€

Seguim els passos:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar A(x,y)

    Volem trobar un màxim de l'àrea.

    Si els costats del camp són x, y, la funció a optimitzar és:   

                A parenthèse gauche x virgule y parenthèse droite égal à x fois y 

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables

     Si, suposem que el costat del camí és x tenim:

     début de style de taille 14px 5 x plus 3 x plus 3 y plus 3 y égal à 1600 fin de style

     début de style de taille 14px 8 x plus 6 y égal à 1600 espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace 4 x plus 3 y égal à 800 fin de style

     Ara expressem  una variable, per exemple la y, en funció de la x:

     début de style de taille 14px 4 x plus 3 y égal à 800 espace espace double flèche vers la droite espace espace 3 y égal à 800 moins 4 x espace espace espace double flèche vers la droite espace espace y égal à numérateur de la fraction 800 moins 4 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction fin de style

 c) Substituïm aquesta variable en la funció A(x,y) 

     début de style de taille 14px A parenthèse gauche x virgule y parenthèse droite égal à x fois y égal à x fois numérateur de la fraction 800 moins 4 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction fin de style

    D'aquesta manera la funció a optimitzar ja ens queda d'una variable.

    début de style de taille 14px A parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 800 x moins 4 x au carré au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction fin de style

d) Igualar a zero la derivada.

    début de style de taille 14px A apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 800 moins 2 fois 4 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction A apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à 0 espace espace double flèche vers la droite espace espace numérateur de la fraction 800 moins 8 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite espace 800 moins 8 x égal à 0 espace espace espace double flèche vers la droite x égal à 800 sur 8 égal à 100 fin de style

    début de style de taille 14px x égal à 100 espace m au carré fin de style

    Calculem el valor de y: 

    début de style de taille 14px espace y égal à numérateur de la fraction 800 moins 4 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 800 moins 4 fois 100 au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction égal à 400 sur 3 égal à 133 virgule 33 y égal à 133 virgule 33 espace m A égal à x fois y égal à 100 fois 133 virgule 33 égal à 13333 cadre englobant espace A égal à 13333 espace m au carré espace espace fin fin de style

 Podríem comprovar que efectivament hem obtingut un màxim:

 début de style de taille 14px A apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 800 moins 8 x au-dessus du dénominateur 3 fin de la fraction espace espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace espace espace A apostrophe apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins 8 sur 3 A apostrophe apostrophe parenthèse gauche 100 parenthèse droite inférieur à 0 espace espace espace double flèche vers la droite espace espace e n espace x égal à 100 espace hi espace ha espace màxim espace espace espace fin de style

Précédent