LL5_Problemes d'optimització
Bàsicament podem distingir dos tipus de problemes d'optimització.
- Problemes d'optimització amb una variable.
Són els corresponents al primer qüestionari d'aquest lliurament 5
Són els més freqüents en aquest bloc i sovint surten als exàmens de selectivitat.
- Problemes d'optimització amb dues variables.
En general són més complicats que els d'una variable ja que és més laboriós obtenir la funció a optimitzar. Farem algun exemple senzill ja que en aquest bloc ens centrem més en els d'una variable.
Problemes optimització funció 2 variables
En general en aquest problemes d'optimització amb dues variables els passos a seguir són:
a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar F(x,y)
b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables i que ens permet expressar una variable en funció de l'altre.
c) Substituir aquesta variable (expressada en funció de l'altre) en la funció a optimitzar de manera que aquesta ja serà funció d'una sola variable.
d) Igualar a zero la derivada.
Exemple
Volem tancar un camp rectangular que és al costat d'un camí. La tanca del costat del camí costa 5€/m i la dels altres tres costats, 3€/m. Calcula l'àrea del camp de màxima superfície que podem tancar amb 1600€
Seguim els passos:
a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar A(x,y)
Volem trobar un màxim de l'àrea.
Si els costats del camp són x, y, la funció a optimitzar és:
b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables
Si, suposem que el costat del camí és x tenim:
Ara expressem una variable, per exemple la y, en funció de la x:
c) Substituïm aquesta variable en la funció A(x,y)
D'aquesta manera la funció a optimitzar ja ens queda d'una variable.
d) Igualar a zero la derivada.
Calculem el valor de y:
Podríem comprovar que efectivament hem obtingut un màxim: