Problemes optimització funció 2 variables

En general en aquest problemes d'optimització amb dues variables els passos a seguir són:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar F(x,y)

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables i que ens permet expressar una variable en funció de l'altre.

c) Substituir aquesta variable (expressada en funció de l'altre) en la funció a optimitzar de manera que aquesta ja serà funció d'una sola variable.

d) Igualar a zero la derivada.

Exemple

Volem tancar un camp rectangular que és al costat d'un camí. La tanca del costat del camí costa 5€/m i la dels altres tres costats, 3€/m. Calcula l'àrea del camp de màxima superfície que podem tancar amb 1600€

Seguim els passos:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar A(x,y)

    Volem trobar un màxim de l'àrea.

    Si els costats del camp són x, y, la funció a optimitzar és:   

                A left parenthesis x comma y right parenthesis equals x times y 

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables

     Si, suposem que el costat del camí és x tenim:

     begin mathsize 14px style 5 x plus 3 x plus 3 y plus 3 y equals 1600 end style

     begin mathsize 14px style 8 x plus 6 y equals 1600 space space space rightwards arrow space space space 4 x plus 3 y equals 800 end style

     Ara expressem  una variable, per exemple la y, en funció de la x:

     begin mathsize 14px style 4 x plus 3 y equals 800 space space rightwards double arrow space space 3 y equals 800 minus 4 x space space space rightwards double arrow space space y equals fraction numerator 800 minus 4 x over denominator 3 end fraction end style

 c) Substituïm aquesta variable en la funció A(x,y) 

     begin mathsize 14px style A left parenthesis x comma y right parenthesis equals x times y equals x times fraction numerator 800 minus 4 x over denominator 3 end fraction end style

    D'aquesta manera la funció a optimitzar ja ens queda d'una variable.

    begin mathsize 14px style A left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 800 x minus 4 x squared over denominator 3 end fraction end style

d) Igualar a zero la derivada.

    begin mathsize 14px style A apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 800 minus 2 times 4 x over denominator 3 end fraction
A apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0 space space rightwards double arrow space space fraction numerator 800 minus 8 x over denominator 3 end fraction equals 0 space space space space rightwards double arrow space 800 minus 8 x equals 0 space space space rightwards double arrow x equals 800 over 8 equals 100
end style

    begin mathsize 14px style x equals 100 space m squared end style

    Calculem el valor de y: 

    begin mathsize 14px style space y equals fraction numerator 800 minus 4 x over denominator 3 end fraction equals fraction numerator 800 minus 4 times 100 over denominator 3 end fraction equals 400 over 3 equals 133 comma 33
y equals 133 comma 33 space m

A equals x times y equals 100 times 133 comma 33 equals 13333
box enclose space A equals 13333 space m squared space space end enclose end style

 Podríem comprovar que efectivament hem obtingut un màxim:

 begin mathsize 14px style A apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 800 minus 8 x over denominator 3 end fraction space space space space space rightwards arrow space space space space A apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative 8 over 3
A apostrophe apostrophe left parenthesis 100 right parenthesis less than 0 space space space rightwards double arrow space space e n space x equals 100 space hi space ha space màxim space space space end style