Problemes optimització funció 2 variables

En general en aquest problemes d'optimització amb dues variables els passos a seguir són:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar F(x,y)

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables i que ens permet expressar una variable en funció de l'altre.

c) Substituir aquesta variable (expressada en funció de l'altre) en la funció a optimitzar de manera que aquesta ja serà funció d'una sola variable.

d) Igualar a zero la derivada.

Exemple

Volem tancar un camp rectangular que és al costat d'un camí. La tanca del costat del camí costa 5€/m i la dels altres tres costats, 3€/m. Calcula l'àrea del camp de màxima superfície que podem tancar amb 1600€

Seguim els passos:

a) Expressar la funció amb dues variables a optimitzar A(x,y)

    Volem trobar un màxim de l'àrea.

    Si els costats del camp són x, y, la funció a optimitzar és:   

                A linke klammer x Komma y rechte klammer gleich x mal y 

b) Trobar la relació que existeix entre les dues variables

     Si, suposem que el costat del camí és x tenim:

     Anfang mathsize 14px Stil 5 x plus 3 x plus 3 y plus 3 y gleich 1600 Ende Stil

     Anfang mathsize 14px Stil 8 x plus 6 y gleich 1600 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 4 x plus 3 y gleich 800 Ende Stil

     Ara expressem  una variable, per exemple la y, en funció de la x:

     Anfang mathsize 14px Stil 4 x plus 3 y gleich 800 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen 3 y gleich 800 minus 4 x Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen y gleich Zähler 800 minus 4 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Ende Stil

 c) Substituïm aquesta variable en la funció A(x,y) 

     Anfang mathsize 14px Stil A linke klammer x Komma y rechte klammer gleich x mal y gleich x mal Zähler 800 minus 4 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Ende Stil

    D'aquesta manera la funció a optimitzar ja ens queda d'una variable.

    Anfang mathsize 14px Stil A linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 800 x minus 4 x im Quadrat geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Ende Stil

d) Igualar a zero la derivada.

    Anfang mathsize 14px Stil A apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 800 minus 2 mal 4 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis
A apostroph linke klammer x rechte klammer gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Zähler 800 minus 8 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen 800 minus 8 x gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil x gleich 800 geteilt durch 8 gleich 100
Ende Stil

    Anfang mathsize 14px Stil x gleich 100 Leerzeichen m im Quadrat Ende Stil

    Calculem el valor de y: 

    Anfang mathsize 14px Stil Leerzeichen y gleich Zähler 800 minus 4 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis gleich Zähler 800 minus 4 mal 100 geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis gleich 400 geteilt durch 3 gleich 133 Komma 33
y gleich 133 Komma 33 Leerzeichen m

A gleich x mal y gleich 100 mal 133 Komma 33 gleich 13333
Feld eingeschlossen Leerzeichen A gleich 13333 Leerzeichen m im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen Ende Ende Stil

 Podríem comprovar que efectivament hem obtingut un màxim:

 Anfang mathsize 14px Stil A apostroph linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 800 minus 8 x geteilt durch Nenner 3 Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen A apostroph apostroph linke klammer x rechte klammer gleich minus 8 geteilt durch 3
A apostroph apostroph linke klammer 100 rechte klammer kleiner als 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 100 Leerzeichen hi Leerzeichen ha Leerzeichen màxim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Stil