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Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 1

Exemple

Unes proves de selectivitat s'han valorat amb notes entre 0 i 10. El nombre de persones que han rebut una determinada qualificació x ha vingut donada per la fórmula 

                        bold italic N negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 250 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 2 bold italic x negrita menos negrita 9 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2

Quina és la nota que han tret més persones?

a) Funció a optimitzar:

    N paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 250 menos paréntesis izquierdo 2 x menos 9 paréntesis derecho al cuadrado

    En aquest cas ja ens han donat directament la funció a optimitzar.

    En alguns problemes haurem de fer algun pas previ per obtenir aquesta funció.

b) Derivem la funció

     N apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 0 menos 2 por paréntesis izquierdo 2 x menos 9 paréntesis derecho por 2 igual menos 4 paréntesis izquierdo 2 x menos 9 paréntesis derecho

c) Igualem a zero la derivada

    menos 4 paréntesis izquierdo 2 x menos 9 paréntesis derecho igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio 2 x menos 9 igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio 2 x igual 9 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio x igual fracción 9 entre 2 igual negrita 4 negrita coma negrita 5 espacio espacio

d) Anàlisis dels resultats

   Generalment això no ho farem però depenent del problema i del resultat pot ser interessant (i fins i tot necessari)

Bàsicament ens referim a dues actuacions: 

 -  Comprovar que aquest extrems que ens surt d'igualar a zero la derivada, és efectivament, un màxim (que és el que ens demanen). Ho podríem confirmar fent la derivada segona:

N apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos 4 por 2 igual menos 8 espacio espacio espacio espacio espacio N apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo 4 coma 5 paréntesis derecho igual menos 8 menor que 0 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio x igual 4 coma 5 espacio m à x i m   

- Si, per exemple, el resulta ha de ser enter i ens dóna decimal, hauríem de decidir quin dels dos enters més pròxims al resultat és la solució del problema.

Per exemple, en aquest problema suposem que ens demanen que el resultat ha de ser una nota entera. Quina agafem 4 o 5?

N paréntesis izquierdo 4 paréntesis derecho igual 250 menos paréntesis izquierdo 2 por 4 menos 9 paréntesis derecho al cuadrado igual 250 menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cuadrado igual 250 menos 1 igual 249 N paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho igual 250 menos paréntesis izquierdo 2 por 5 menos 9 paréntesis derecho al cuadrado igual 250 menos 1 al cuadrado igual 250 menos 1 igual 249

En aquest cas coincideix que hi ha tantes persones que obtenen nota 4 con mota 5, per tant hi hauria aquestes dues solucions.


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