Previous
Next

Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 1

Exemple

Unes proves de selectivitat s'han valorat amb notes entre 0 i 10. El nombre de persones que han rebut una determinada qualificació x ha vingut donada per la fórmula 

                        bold italic N bold left parenthesis bold italic x bold right parenthesis bold equals bold 250 bold minus bold left parenthesis bold 2 bold italic x bold minus bold 9 bold right parenthesis to the power of bold 2

Quina és la nota que han tret més persones?

a) Funció a optimitzar:

    N left parenthesis x right parenthesis equals 250 minus left parenthesis 2 x minus 9 right parenthesis squared

    En aquest cas ja ens han donat directament la funció a optimitzar.

    En alguns problemes haurem de fer algun pas previ per obtenir aquesta funció.

b) Derivem la funció

     N apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0 minus 2 times left parenthesis 2 x minus 9 right parenthesis times 2 equals negative 4 left parenthesis 2 x minus 9 right parenthesis

c) Igualem a zero la derivada

    negative 4 left parenthesis 2 x minus 9 right parenthesis equals 0 space space space space rightwards double arrow space space 2 x minus 9 equals 0 space space space space rightwards double arrow space space 2 x equals 9 space space space rightwards double arrow space space space x equals 9 over 2 equals bold 4 bold comma bold 5 space space

d) Anàlisis dels resultats

   Generalment això no ho farem però depenent del problema i del resultat pot ser interessant (i fins i tot necessari)

Bàsicament ens referim a dues actuacions: 

 -  Comprovar que aquest extrems que ens surt d'igualar a zero la derivada, és efectivament, un màxim (que és el que ens demanen). Ho podríem confirmar fent la derivada segona:

N apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative 4 times 2 equals negative 8 space space space space space N apostrophe apostrophe left parenthesis 4 comma 5 right parenthesis equals negative 8 less than 0 space space space rightwards double arrow space space x equals 4 comma 5 space m à x i m   

- Si, per exemple, el resulta ha de ser enter i ens dóna decimal, hauríem de decidir quin dels dos enters més pròxims al resultat és la solució del problema.

Per exemple, en aquest problema suposem que ens demanen que el resultat ha de ser una nota entera. Quina agafem 4 o 5?

N left parenthesis 4 right parenthesis equals 250 minus left parenthesis 2 times 4 minus 9 right parenthesis squared equals 250 minus left parenthesis negative 1 right parenthesis squared equals 250 minus 1 equals 249 N left parenthesis 5 right parenthesis equals 250 minus left parenthesis 2 times 5 minus 9 right parenthesis squared equals 250 minus 1 squared equals 250 minus 1 equals 249

En aquest cas coincideix que hi ha tantes persones que obtenen nota 4 con mota 5, per tant hi hauria aquestes dues solucions.


Previous
Next