LL1_Funcions: Domini d'una funció

4. Domini d'una funció

Domini d'una funció f és el conjunt de nombres reals on la funció està definida. És a dir, que tenen imatge per f.

Ho podem designar per $D parèntesi esquerre f parèntesi dret coma espai espai espai espai D subíndex f espai espai espai espai o espai espai espai d o m parèntesi esquerre f parèntesi dret espai espai espai espai espai espai$

El càlcul del domini d'una funció, depenent de com sigui aquesta funció, pot ser complicat. Però en aquest bloc ens limitarem a casos senzills:

Si tenim una funció definida de forma algebraica, per calcular el seu domini haurem de trobar els valors reals on té sentit aplicar la fórmula algebraica, bàsicament caldrà vigilar:

- El domini de les funcions polinòmiques són tots els reals: $normal nombres reals$
- No podem dividir per zero.
- Les arrels quadrades només es poden aplicar als nombres positius i el zero.
- Els logaritmes només es poden aplicar a nombres positius (el zero no).

Funcions polinòmiques

El domini d'una funció polinòmica és tot $normal nombres reals$ (nombres reals)

Exemples

$a parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x al cub menys 5 x al quadrat més 3 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

$b parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret al cub espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

$c parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 mig x al cub menys 5 x al quadrat més fracció 2 entre 3 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

Funció racional

Una funció racional és de la forma $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador P parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador Q parèntesi esquerre x parèntesi dret fi fracció$

El domini és tots els nombres excepte els que anul·len el denominador

Exemples

$a parèntesi dret espai espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció negreta 1 entre negreta x espai espai espai$

El denominador és x

El denominador s'anul·la en x=0

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta 0 tanca claus$

$b parèntesi dret negreta espai negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x negreta menys negreta 2 entre denominador negreta x negreta més negreta 3 fi fracció negreta espai espai espai$

El denominador s'anul·la en:

$x més 3 igual 0 espai espai espai espai espai x igual menys 3$

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta menys negreta 3 tanca claus$

$bold italic c negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 25 fi fracció espai espai espai$

Mirem on s'anul·la el denominador:

$x al quadrat menys 25 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual 25 espai espai espai espai espai espai espai espai x igual més-menys arrel quadrada de 25 igual més-menys 5$

$bold italic D subíndex negreta f negreta igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta més-menys negreta 5 tanca claus$

$d parèntesi dret espai espai bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x elevat a negreta 2 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 3 negreta x fi fracció negreta espai negreta espai negreta espai$

Mirem on s'anul·la el denominador:

$x al quadrat menys 3 x igual 0 x per parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret igual 0 espai espai fletxa doble dreta obre claus taula fila cel·la x igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la x menys 3 igual 0 espai espai fletxa dreta x igual 3 fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai$

$D subíndex f igual negreta nombres reals negreta menys obre claus negreta 0 negreta coma negreta 3 tanca claus$

$e parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x entre denominador x al quadrat més 1 fi fracció espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat més 1 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai x al quadrat igual menys 1 espai espai espai Aquesta espai equació espai no espai té espai solució espai espai espai espai espai espai espai bold italic D subíndex negreta f negreta igual negreta nombres reals$

f) $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x entre denominador x al quadrat menys x menys 2 fi fracció espai espai espai fletxa dreta D subíndex f igual normal nombres reals menys obre claus menys 1 coma 2 tanca claus$

Funció irracional

Exemples

$a parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual claudàtor esquerre 0 coma més infinit parèntesi dret espai espai espai$ podríem posar també $D subíndex f igual normal nombres reals elevat a més$

$b parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de menys x fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual parèntesi esquerre menys infinit coma 0 claudàtor dret espai espai espai$ podríem posar també $D subíndex f igual normal nombres reals elevat a menys$

$c parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x menys 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual claudàtor esquerre 1 coma més infinit parèntesi dret espai espai espai$

$d parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x al quadrat més 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

$e parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel quadrada de x al quadrat menys 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual parèntesi esquerre menys infinit coma menys 1 claudàtor dret unió claudàtor esquerre 1 coma més infinit parèntesi dret igual normal nombres reals menys parèntesi esquerre menys 1 coma 1 parèntesi dret$

$f parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cúbica de x espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

$g parèntesi dret espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual arrel cúbica de x menys 1 fi arrel espai espai fletxa dreta espai espai espai D subíndex f igual normal nombres reals$

(Si no enteneu algun d'aquests dominis, feu la consulta en el Fòrum de dubtes).

Vídeo del càlcul de dominis:

http://youtu.be/aHATfpqBQVg

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

4. Domini d'una funció