LL1_Funcions

1. Concepte de funcions

CONCEPTE DE FUNCIÓ

Una funció és una relació de dependència entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera magnitud li correspon un únic valor de la segona.

La segona variable depèn del valor de la primera i d'aquí que la primera s'anomena variable independent i la segona variable dependent.

   Variable independent                          Variable dependent 

Hi ha moltes maneres d'expressar una funció, per exemple:

2. Imatges i antiimatges

Una funció relaciona dues variables. Per a cada valor de la variable independent x, existeix un únic valor de la variable dependent y. 

                                                 

  y és la imatge de x per la funció f

  x és una antiimatge de y per la funció f 

Exemple 

     Donada la funció :       

     

Imatge de 2

     

     La imatge de 2 per la funció f és 3/4, i per tant la funció passa pel punt (2, 3/4). 

      I podem dir que la antiimatge de 3/4 és 2.

Antiimatge de 0

    Per calcular la antiimatge de 0 per f, igualarem a 0 l'expressió i aïllarem la x.

   

    Una fracció és 0, si ho és el numerador: 

      

    Per tant, el 0 té dues antiimatges: 1 i -1 

            

    i la funció passa pels punts (1,0) i (-1,0)

Antiimatge de -8

     

   Per tant, -8 té dues antiimatges: -5 i 3

   

3. Punts d'una funció

Els punts d'una funció f(x) són de la forma

És a dir, per punts (x,y) d'una funció donem valors a x i substituïm aquest valor en la funció per trobar y.

Diem que f(x) és la imatge de x per la funció f(x)

Exemple

Observacions:

-  Hi ha valors de x pels quals no hi podem trobar el corresponent punt de la y. 

   En la funció anterior veiem que per al valor  no podem trobar la seva imatge per f(x), ja que 

         però  no és cap nombre real.

      En aquest cas, 2 no és del domini de la funció (veieu l'apartat Domini).  

      No podem trobar la imatge de tots els valors d'x, només dels valors d'x que són del domini de la funció (ho estudiarem en el següent apartat).

      El domini d'aquesta funció és  

      Per a tots els valors de x, excepte per a x=2, podem trobar la seva imatge per la funció f

   Fer una taula de valors com l'anterior per trobar punts de la funció no és suficient per trobar la gràfica de la funció.  Més endavant estudiarem com fer les gràfiques d'algunes funcions. 

-  De la mateixa manera que podem trobar punts donant valors a la variable x, també podem trobar punts donant valors a la variable y. 

    Per exemple, 

    si en la funció anterior volem el punt tal que y=3, tindrem: 

    Per tant, el punt de la funció amb y=3 és  

- En el cas que la funció sigui una recta (funció lineal),  serà suficient amb trobar 2 punts.   

   Exemple de recta

     (Normalment en el cas de rectes, en comptes de f(x) posem y    

     Punts:

            Punt

            Punt      

   (Mireu l'apartat Funció  afí) 

4. Domini d'una funció

Domini d'una funció f és el conjunt de nombres reals on la funció està definida. És a dir, que tenen imatge per f.

Ho podem designar per  

El càlcul del domini d'una funció, depenent de com sigui aquesta funció, pot ser complicat.  Però en aquest bloc  ens limitarem a casos senzills:

Si tenim una funció definida de forma algebraica, per calcular el seu domini haurem de trobar els valors reals on té sentit aplicar la fórmula algebraica, bàsicament caldrà vigilar:

• • El domini de les funcions polinòmiques són tots els reals: 
  • No podem dividir per zero.
  • Les arrels quadrades només es poden aplicar als nombres positius i el zero.
  • Els logaritmes només es poden aplicar a nombres positius (el zero no).

Funcions polinòmiques

    El domini d'una funció polinòmica és tot (nombres reals)

    Exemples

Funció racional

    Una funció racional és de la forma   

    El domini és tots els nombres excepte els que anul·len el denominador

    Exemples

              El denominador és x

              El denominador s'anul·la en x=0   

                El denominador s'anul·la en:

                Mirem on s'anul·la el denominador: 

               Mirem on s'anul·la el denominador: 

     f) 

Funció irracional   

     Exemples

           podríem posar també 

           podríem posar també 

(Si no enteneu algun d'aquests dominis, feu la consulta en el Fòrum de dubtes).

Vídeo del càlcul de dominis:

     http://youtu.be/aHATfpqBQVg

5. Funció afí: recta

Una funció afí és de la forma: 

i la seva gràfica és una recta.

La m es el pendent de la recta i ens indica la inclinació d'aquesta.

Si la m≥0 la recta és creixent

Si la m≤0 la recta és decreixent

La n es diu ordenada a l'origen i ens indica el punt de tall de la recta amb l'eix vertical (de les y)

En el cas que la n=0 , la recta té equació f(x)=mx aquestes funcions es diuen funcions lineals i tenen la peculiaritat que passen totes elles per l'origen de coordenades.

En el cas que la m=0 la funció queda de tipus f(x)=n i en aquest cas la funció és constant, sempre val el mateix i el seu gràfic és horitzontal.

Si coneixem l'expressió d'aquestes funcions per dibuixar-ne el gràfic farem una taula de valors (tot i que amb 2 en tenim prou millor fer-ne 3 o 4 per garantir que no ens hem equivocat), llavors situem els punts als eixos de coordenades i els unim formant una recta.

Exemples:

Dibuixem aquestes 3 rectes (amb dos punts de cadascuna és suficient):

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Moltes vegades trobem l'expressió igualada a 0 (equació general de la recta):                

Per trobar punts de la recta ho fem de forma semblant al cas anterior. Donem un valor qualsevol a una de les variable i trobem el valor de l'altre variable per tal es satisfaci l'equació.  

Exemple. 

Trobem punts de la recta    

    Podem donar valors a la variable x i trobar el valor de y : 

    Si   Punt 

    Si    Punt   

    O podem donar valors a la variable y i trobar el valor de x :

    Si                  Punt        

6. Paràbola

Una paràbola és una funció de la forma    amb

Gràfica d'una paràbola.

Per fer el gràfic d'una paràbola trobem els seus punts més significatius:

- Talls amb l'eix x    La paràbola talla a l'eix x en les solucions de l'equació 

- Tall amb l'eix y    (0,f(0))

- Vèrtex   La coordenada x del vèrtex és 

                 Per trobar la coordenada y, substituïm aquest valor de x en ax²+bx+c

                       Vèrtex  

- Si  la paràbola "mira" cap amunt

  Si  la paràbola "mira" cap avall

6.1. Exemple 1

Gràfic de la paràbola 

- Talls amb l'eix x

         Talls amb l'eix x: 

- Tall amb l'eix y

          Tall amb l'eix y: 

- Vèrtex

          Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

          Vèrtex

- Gràfica

  Observació:

       Si el coeficient de la  x² és positiu   la paràbola "mira" cap amunt

       Si el coeficient de la  x² és negatiu  la paràbola "mira" cap avall

6.2. Exemple 2

Gràfic de la paràbola

- Talls amb l'eix x

          Per resoldre aquesta equació de segon grau incompleta no apliquem la fórmula de l'equació de segon grau 

          Ho fem més senzill extraient factor comú x:

          Talls amb l'eix x: 

- Tall amb l'eix y

          Tall amb l'eix y: 

- Vèrtex

        Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

          Vèrtex

- Gràfica

  Observació:

       Si el coeficient de la  x² és positiu   la paràbola "mira" cap amunt

       Si el coeficient de la  x² és negatiu  la paràbola "mira" cap avall

7. Funció a trossos

Una funció definida a trossos és una funció que no està definida amb la mateixa forma algebraica per a tots els seus punts.

Exemple:

O també la podríem expressar així:

Punts d'aquesta funció.  Per exemple: 

Observacions:

• En l'interval   posem interval tancat per la dreta per tal d'incloure l'1 ja que volem tots els valors 
• En l'interval   posem interval obert per la dreta per tal de no incloure l'1 ja que volem tots els valors  
• En els extrem infinits sempre posem interval obert, ja que  no és cap nombre
• En els exemples anteriors no hem pogut fer el cas x=3 ja que seria f(3)=1/0 però 1/0 no és cap nombre 

Domini d'aquesta funció

- En l'interval com que la funció  és una recta,  tots els punts de l'interval són del domini

- En l'interval , el domini de la funció és tots els nombres reals excepte el 3

   Com que el 3 està en en l'interval  , ho hem d'excloure del domini total de la funció f(x)

   Per tant:                       

La gràfica de la funció és aquesta: 

(f(x)=x sí ho sabeu dibuixar però no encara f(x)=1/(x-3))

Observació:

Mireu la diferència en el domini d'aquesta altra funció:

En aquest cas x=3 sí és del domini de la funció ja que com que 

f(3) = 3

Per tant, en l'únic valor de x que podria haver problema, x=3, no hi ha ja que per a aquest valor la funció és f(x)=x

La gràfica de la funció (encara no la sabeu trobar) és aquesta: 

8. Inversa d'una funció

FUNCIÓ INVERSA

La funció inversa de una funció f, s'anomena f ^-1 i es defineix com:

Si apliquem una funció f a un valor i al resultat apliquem la funció f ^-1 es torna al punts de partida. O sigui la funció inversa desfà la feina que ha fet la funció f

Exemple

La funció inversa de :              és la funció :      

La funció inversa de :              és la funció :      

La funció inversa de :              és la funció :      

Com calcular de forma pràctica la funció inversa d'una funció?

La funció de partida serà per exemple:

Canviarem f(x) per "y" 

Aïllarem "x" de l'equació anterior:

Ara canviem "x" per "y"