Recordem

Exemple 1

Donat el polinomi factoritza'l al màxim, és a dir escriu-lo com a producte de factors de grau 1. Aprofita després la factorització obtinguda per trobar-ne les tres arrels.

Ho farem de dues maneres:

FORMA 1

Com aquest polinomi no té factors comuns ni tampoc es tracta de cap igualtat notable començarem buscant factors de tipus (x-a) aplicant Ruffini amb el valor a. (això equival a trobar les arrels).

És a dir dividirem el polinomi per (x-a) si el residu dóna 0, voldrà dir que té el factor (x-a), si el residu no dóna 0, en buscarem un altre.

Comencem provant els valors enters que han de ser divisors del terme independent del polinomi.

Com en aquest cas és un -2 els seus divisors són {+1, -1, +2, -2} aquestes són les úniques possibles arrels enteres del polinomi.

Comencem provant per 1

	3	4	-5	-2
1		3	7	2
	3	7	2	0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

observem que els coeficients del segon factor es corresponen amb els que hem obtingut com a quocient del Ruffini.

Cal continuar perquè encara tenim un factor de grau dos. Seguirem aplicant Ruffini al segon factor. Provem pel valor -2 (al quadern pots provar els altres i veuràs que no donen residu 0)

	3	7	2
-2		-6	-2
	3	1	0

Tenim un altre factor i de fet ja estem perquè en el quocient de Ruffini ens queda el tercer factor que busquem.

Un cop tenim els tres factors de grau 1, aprofitem la factorització per trobar les tres arrels que seran els valors que anulen cadascun dels tres factors.

---

FORMA 2

La primera part la faríem exactament igual, és a dir buscaríem un primer factor de tipus (x-a) i provaríem pels divisors de -2 concretament comencem per 1

	3	4	-5	-2
1		3	7	2
	3	7	2	0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

Arribat aquest punt en lloc de continuar fent Ruffini podem treballar directament amb el factor de grau 2 que hem obtingut. Li buscarem les arrels i cada arrel ens donarà un factor de tipus (x-arrel)

Apliquem la fórmula de resolució de les equacions de segon grau per a resoldre . Per tant a=3 , b= 7 i c=2

I ara cal vigilar.

Tenim l' arrel -2 , per tant tenim el factor

Com també tenim l'arrel , tindrem el factor

Finalment escrivim el polinomi factoritzat així

Observeu que en aquest cas ha calgut posar un 3 davant perquè el polinomi inicial té un 3 en el coeficient de grau màxim.

Fixeu-vos també que que és el factor que ens havia sortit en el primer mètode, qualsevol dels dos factors és correcte, perquè té grau 1.

Les arrels ja les tenim, .

Exemple 2

Factoritzar el polinomi
 
   Divisors del terme independent D(60) = {±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60}

	1	-8	11	32	-60
2		2	-12	-2	60
	1	-6	-1	30	0
-2		-2	16	-30
	1	-8	15	0
3		3	-15
	1	-5	0

Per tant,   

               

Observacions: Recordem que un cop arribem a un polinomi de grau dos ja tenim na fórmula per trobar les arrels i això pot resultar més ràpid en ocasions que provar per Ruffini.

ARRELS D'UN POLINOMI FACTORITZAT

Un cop tenim el polinomi factoritzat les arrels del polinomi són els valors que anul·len cada factor, per tant caldrà igualar a zero cada factor.

Així seguint l'exemple anterior, el polinomi 

té les arrels té les arrels 2, -2 , 3 i 5  ja que:

x - 2 = 0------> x = 2

x + 2 = 0------>x = -2

x - 3 = 0 ------> x = 3

x - 5 = 0 ------> x = 5

ORDRE DE MULTIPLICITAT D'UNA ARREL

Si un factor (x-a) es repeteix n vegades a la factorització apareixerà amb potència (x-a)ⁿ llavors direm que a és una arrel del polinomi d'ordre o multiplicitat n. És a dir té l'arrel repetida n vegades.

Exemple:

P(x)= (x+1)²(x-6) té l'arrel -1 amb multiplicitat 2 i l'arrel 6