Recordem

1. Errors freqüents

Us indiquem alguns errors que, per l'experiència en les correccions, veiem que feu amb freqüència. Aquests errors són bàsics i greus i es penalitzen. Heu d'intentar no fer-los. 

En els apartats següents d'aquest quadern podeu repassar algunes coses bàsiques que heu de recordar, especialment d'equacions.

Errors operacions  i signes

           Observació: no cal fer 

Errors en equacions:

            incorrecte                                                                correcte

2. Quadrat d'un binomi

Propietats

Quadrat d'un binomi     

Exemples:

3. Equacions 1r grau

4. Equació 2n grau

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

4.1. Equacions 2n grau incompletes

Una equació de 2n  grau    és incompleta quan els coeficient b o c  són zero

- Cas     

   Exemples

- Cas

     Exemples

5. Equació de la recta que passa per dos punts

Veurem diferents maneres de trobar l'equació de la recta que passa per dos punts: 

Exemple 1 

Trobeu l'equació de la recta que passa pels punts A(2,1) i B(-3,5)

 Volem trobar l'equació del tipus

  O sigui, hem de trobar m i n

 Que els punts siguin de la recta vol dir que han de verificar l'equació:                   

Ara tenim plantejat un sistema d'equacions on les incògnites són m i n

Ho fem per reducció, simplement canviem el signe de la 2a equació i sumem les dues equacions:

                                 (m és el pendent de la recta)

      I substituint aquest valor en la primera equació 1=2m+n obtenim n:

 Per tant, l'equació de la recta és:  

Observacions:

- El pendent de la recta és m. Aquesta recta té pendent -4/5

- A partir d'aquesta equació podem obtenir l'equació general de  la recta:

6. Sistemes 2 equacions, 2 incògnites

Substitució

a. Aïllar una incògnita d'una de les equacions

b. Substituir aquesta incògnita en l'altre equació. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.  

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

Reducció

a. Combinar les dues equacions per obtenir una equació amb una incògnita.

b. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.  

c. Substituir aquest valor en una de les equacions per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

Igualació

a. Aïllar una mateixa incògnita de les dues equacions

b. Igualar les dues expressions. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.  

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

7. Factorització d'un polinomi

FACTORITZACIÓ D'UN POLINOMI

En els següents subapartats veureu exemples de descomposició de polinomis. 

7.1. Factorització Polinomis grau 2

Cas senzill. Exemple 1

Descomponeu el polinomi   

     En aquest cas és suficient amb treure factor comú: 

                  i les arrels són:  0  i  3/2 

Cas senzill. Exemple 2

Descomponeu el polinomi 
     Si ens adonem que és una identitat notable, podem obtenir directament: 

•   

•      

•            té una única arrel :  1  (arrel doble)
  

• Cas general. Exemple 3

• Descomponeu el polinomi 

• Mètode 1  (el més recomenable)

• Per trobar les arrels resolem l'equació 
  

• 
  

  
  

  Les arrels del polinomi són   i  
  

    Arrel -2        factor  

    Arrel      factor 

  El polinomi factoritzat és   

Observeu que en aquest cas ha calgut posar un 3 davant perquè el polinomi inicial té un 3 en el coeficient de grau màxim.


Mètode 2

Apliquem Ruffini  provant amb els divisors del terme independent: ±1, ±2  

       

Per tant, la descomposició del polinomi és: 

    

Si compareu amb la descomposició obtinguda amb el mètode 1, tingueu en compte que: 

  

7.2. Factorització polinomis grau >2

Exemple 1

Donat el polinomi factoritza'l al màxim, és a dir escriu-lo com a producte de factors de grau 1. Aprofita després la factorització obtinguda per trobar-ne les tres arrels.

Ho farem de dues maneres:

FORMA 1

Com aquest polinomi no té factors comuns ni tampoc es tracta de cap igualtat notable començarem buscant factors de tipus (x-a) aplicant Ruffini amb el valor a. (això equival a trobar les arrels).

És a dir dividirem el polinomi per (x-a) si el residu dóna 0, voldrà dir que té el factor (x-a), si el residu no dóna 0, en buscarem un altre.

Comencem provant els valors enters que han de ser divisors del terme independent del polinomi.

Com en aquest cas és un -2 els seus divisors són {+1, -1, +2, -2} aquestes són les úniques possibles arrels enteres del polinomi.

Comencem provant per 1

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

observem que els coeficients del segon factor es corresponen amb els que hem obtingut com a quocient del Ruffini.

Cal continuar perquè encara tenim un factor de grau dos. Seguirem aplicant Ruffini al segon factor. Provem pel valor -2 (al quadern pots provar els altres i veuràs que no donen residu 0)

Tenim un altre factor i de fet ja estem perquè en el quocient de Ruffini ens queda el tercer factor que busquem.

Un cop tenim els tres factors de grau 1, aprofitem la factorització per trobar les tres arrels que seran els valors que anulen cadascun dels tres factors.

FORMA 2

La primera part la faríem exactament igual, és a dir buscaríem un primer factor de tipus (x-a) i provaríem pels divisors de -2 concretament comencem per 1

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

Arribat aquest punt en lloc de continuar fent Ruffini podem treballar directament amb el factor de grau 2 que hem obtingut. Li buscarem les arrels i cada arrel ens donarà un factor de tipus (x-arrel)

Apliquem la fórmula de resolució de les equacions de segon grau per a resoldre . Per tant a=3 , b= 7 i c=2

I ara cal vigilar.

Tenim l' arrel -2 , per tant tenim el factor

Com també tenim l'arrel , tindrem el factor

Finalment escrivim el polinomi factoritzat així

Observeu que en aquest cas ha calgut posar un 3 davant perquè el polinomi inicial té un 3 en el coeficient de grau màxim.

Fixeu-vos també que que és el factor que ens havia sortit en el primer mètode, qualsevol dels dos factors és correcte, perquè té grau 1.

Les arrels ja les tenim, .