8. Inversa de matrius

Definició

 Donada una matriu quadrada A, la seva matriu inversa A-1, si existeix, és la matriu que compleix:

                       bold italic A negreta per bold italic A elevat a negreta menys negreta 1 fi elevat negreta igual bold italic A elevat a negreta menys negreta 1 fi elevat negreta per bold italic A negreta igual bold italic I

on I és la matriu Identitat.

En aquest bloc ens limitarem al càlcul de matrius inverses d'ordre 2x2.

Ho podem fer de dues maneres. Ho veurem amb un exemple.

Exemple 

Calcular la inversa de la matriu  A igual obre parèntesis taula fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la fila 1 3 fi taula tanca parèntesis

· Càlcul de la matriu inversa a partir de la definició.

  Plantegem un sistema d'equacions, ja que volem una matriu X tal que 

                                               A per X igual I

  És a dir:

                 obre parèntesis taula fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la fila 1 3 fi taula tanca parèntesis per obre parèntesis taula fila a b fila c d fi taula tanca parèntesis igual obre parèntesis taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula tanca parèntesis

                 obre parèntesis taula fila cel·la 2 a menys c fi cel·la cel·la 2 b menys d fi cel·la fila cel·la a més 3 c fi cel·la cel·la b més 3 d fi cel·la fi taula tanca parèntesis igual obre parèntesis taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula tanca parèntesis espai espai espai espai espai

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 2 a menys c igual 1 fi cel·la fila cel·la a més 3 c igual 0 fi cel·la fi taula tanca claus espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 6 a menys 3 c igual 3 fi cel·la fila cel·la a més 3 c igual 0 fi cel·la fi taula tanca claus espai espai espai fletxa doble dreta espai espai 7 a igual 3 espai espai espai fletxa doble dreta espai a igual fracció 3 entre 7
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 c igual menys a igual menys fracció 3 entre 7 espai espai fletxa doble dreta espai espai c igual menys fracció numerador 3 entre denominador 3 per 7 fi fracció igual menys fracció 1 entre 7

                    obre parèntesis taula fila cel·la 2 a menys c fi cel·la cel·la 2 b menys d fi cel·la fila cel·la a més 3 c fi cel·la cel·la b més 3 d fi cel·la fi taula tanca parèntesis igual obre parèntesis taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula tanca parèntesis espai espai espai espai espai

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 2 b menys d igual 0 fi cel·la fila cel·la b més 3 d igual 1 fi cel·la fi taula tanca claus espai espai espai espai fletxa doble dreta espai espai obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 6 b menys 3 d igual 0 fi cel·la fila cel·la b més 3 d igual 1 fi cel·la fi taula tanca claus espai espai espai fletxa doble dreta espai espai 7 b igual 1 espai espai espai fletxa doble dreta espai b igual fracció 1 entre 7
espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 d igual 1 menys b igual 1 menys fracció 1 entre 7 espai igual fracció 6 entre 7 espai fletxa doble dreta espai espai d igual fracció numerador 6 entre denominador 3 per 7 fi fracció igual fracció 2 entre 7

                    Per tant: 

                    A elevat a menys 1 fi elevat igual fracció 1 entre 7 obre parèntesis taula fila 3 1 fila cel·la menys 1 fi cel·la 2 fi taula tanca parèntesis          

· Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan 

  De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial: 

  Es tracta de palntejar la matriu ampliada:

   obre parèntesis taula fila cel·la taula fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la fila 1 3 fi taula fi cel·la cel·la envoltori per l'esquerra espai taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula fi envoltori fi cel·la fi taula tanca parèntesis 

   Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat: obre parèntesis taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula tanca parèntesis 

   obre parèntesis taula fila cel·la taula fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la fila 1 3 fi taula fi cel·la cel·la envoltori per l'esquerra espai taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula fi envoltori fi cel·la fi taula tanca parèntesis espai espai fletxa dreta espai espai obre parèntesis taula fila cel·la taula fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la fila 0 cel·la menys 7 fi cel·la fi taula fi cel·la cel·la envoltori per l'esquerra espai taula fila 1 0 fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la fi taula fi envoltori fi cel·la fi taula tanca parèntesis espai espai fletxa dreta espai espai obre parèntesis taula fila cel·la taula fila cel·la menys 14 fi cel·la 0 fila 0 cel·la menys 7 fi cel·la fi taula fi cel·la cel·la envoltori per l'esquerra espai taula fila cel·la menys 6 fi cel·la cel·la menys 2 fi cel·la fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la fi taula fi envoltori fi cel·la fi taula tanca parèntesis espai espai fletxa dreta espai espai obre parèntesis taula fila cel·la taula fila 1 0 fila 0 1 fi taula fi cel·la cel·la envoltori per l'esquerra espai taula fila cel·la 3 dividit per 7 fi cel·la cel·la 1 dividit per 7 fi cel·la fila cel·la menys 1 dividit per 7 fi cel·la cel·la 2 dividit per 7 fi cel·la fi taula fi envoltori fi cel·la fi taula tanca parèntesis

    Per tant:      

     A elevat a menys 1 fi elevat igual fracció 1 entre 7 obre parèntesis taula fila 3 1 fila cel·la menys 1 fi cel·la 2 fi taula tanca parèntesis

Observacions:

- El procediment per trobar la inversa de matrius quadrades de qualsevol ordre major és el mateix.  Simplement pot sortir més llarg de càlculs.  

- No sempre existeix la matriu inversa d'una matriu.
  Fixeu-vos que, amb el primer mètode, el sistema que plantegem podria ser que no tingués solució.
  O amb el segon mètode podria ser que no poguéssim  obtenir la matriu identitat a l'esquerra.
  La condició perquè una mateix quadrada tingui inversa és que el seu determinant no sigui 0 però això ho veurem en el següent lliurament.

- Hi ha un tercer mètode però utilitza els determinants (que s'estudien en el lliurament 2).