Exemples de grau superior a 2

Donat el polinomi P left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 5 x minus 2  factoritza'l al màxim, és a dir escriu-lo com a producte de factors de grau 1. Aprofita després la factorització obtinguda per trobar-ne les tres arrels.

Ho farem de dues maneres:


Forma 1

Com aquest polinomi no té factors comuns ni tampoc es tracta de cap igualtat notable començarem buscant factors de tipus (x-a) aplicant Ruffini amb el valor a. (això equival a trobar les arrels).

És a dir dividirem el polinomi per (x-a) si el residu dóna 0, voldrà dir que té el factor (x-a), si el residu no dóna 0, en buscarem un altre.

Comencem provant els valors enters que han de ser divisors del terme independent del polinomi.

Com en aquest cas és un -2 els seus divisors són {+1, -1, +2, -2} aquestes són les úniques possibles arrels enteres del polinomi.

Comencem provant per 1

3

4

-5

-2

1 3 7 2
3 7 2 0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

P left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 5 x minus 2 equals left parenthesis x minus 1 right parenthesis times left parenthesis 3 x ² plus 7 x plus 2 right parenthesis observem que els coeficients del segon factor es corresponen amb els que hem obtingut com a quocient del Ruffini.

Cal continuar perquè encara tenim un factor de grau dos. Seguirem aplicant Ruffini al segon factor. Provem pel valor -2 (al quadern pots provar els altres i veuràs que no donen residu 0)

3

7

2

-2 -6 -2
3 1 0

Tenim un altre factor i de fet ja estem perquè en el quocient de Ruffini ens queda el tercer factor que busquem.

P left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 5 x minus 2 equals left parenthesis x minus 1 right parenthesis times left parenthesis 3 x ² plus 7 x plus 2 right parenthesis equals space left parenthesis x minus 1 right parenthesis times left parenthesis x plus 2 right parenthesis left parenthesis 3 x plus 1 right parenthesis

Un cop tenim els tres factors de grau 1, aprofitem la factorització per trobar les tres arrels que seran els valors que anulen cadascun dels tres factors.

x minus 1 equals 0 space left right double arrow x equals 1 space space space space space space space space space rightwards double arrow space space space space space 1 space é s space a r r e l
x plus 2 space equals 0 left right double arrow x equals negative 2 space space space space space rightwards double arrow negative 2 space é s space space a r r e l
3 x plus 1 equals 0 left right double arrow x equals negative 1 third space rightwards double arrow negative 1 third space é s space a r r e l


Forma 2

La primera part la faríem exactament igual, és a dir buscaríem un primer factor de tipus (x-a) i provaríem pels divisors de -2 concretament comencem per 1

3

4

-5

-2

1 3 7 2
3 7 2 0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

P left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 5 x minus 2 equals left parenthesis x minus 1 right parenthesis times left parenthesis 3 x ² plus 7 x plus 2 right parenthesis

Arribat aquest punt en lloc de continuar fent Ruffini podem treballar directament amb el factor de grau 2 que hem obtingut. Li buscarem les arrels i cada arrel ens donarà un factor de tipus (x-arrel)

Apliquem la fórmula de resolució de les equacions de segon grau per a resoldre  3 x ² plus 7 x plus 2 equals 0. Per tant a=3 , b= 7 i c=2

bold italic x bold equals fraction numerator bold minus bold b bold plus-or-minus square root of bold b to the power of bold 2 bold minus bold 4 bold times bold a bold times bold c end root over denominator bold 2 bold times bold a end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 7 bold plus-or-minus square root of bold 7 to the power of bold 2 bold minus bold 4 bold times bold 3 bold times bold 2 end root over denominator bold 2 bold times bold 3 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 7 bold plus-or-minus square root of bold 49 bold minus bold 24 end root over denominator bold 6 end fraction bold equals
bold space bold space bold space fraction numerator bold minus bold 7 bold plus-or-minus square root of bold 25 over denominator bold 6 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 7 bold plus-or-minus bold 5 over denominator bold 6 end fraction bold equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell bold x subscript bold 1 bold equals fraction numerator bold minus bold 7 bold minus bold 5 over denominator bold 6 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 12 over denominator bold 6 end fraction bold equals bold minus bold 2 end cell row cell bold x subscript bold 2 bold equals fraction numerator bold minus bold 7 bold plus bold 5 over denominator bold 6 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 2 over denominator bold 6 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 1 over denominator bold 3 end fraction end cell end table close

I ara cal  vigilar.

Tenim l' arrel -2 , per tant tenim el factor left parenthesis x minus left parenthesis negative 2 right parenthesis right parenthesis space é s space a space d i r space left parenthesis x plus 2 right parenthesis

Com també tenim l'arrel fraction numerator negative 1 over denominator 3 end fraction , tindrem el factor left parenthesis x minus left parenthesis negative 1 third right parenthesis right parenthesis space é s space a space d i r space left parenthesis x plus 1 third right parenthesis

Finalment escrivim el polinomi factoritzat així P left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 5 x minus 2 equals bold 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis times left parenthesis x plus 2 right parenthesis times left parenthesis x plus 1 third right parenthesis

Observeu que en aquest cas ha calgut posar un 3 davant perquè el polinomi inicial té un 3 en el  coeficient de grau màxim.

Fixeu-vos també que 3 left parenthesis x plus 1 third right parenthesis equals left parenthesis 3 x plus 1 right parenthesis que és el factor que ens havia sortit en el primer mètode, qualsevol dels dos factors és correcte, perquè té grau 1.

Les arrels ja les tenim, 1 comma space minus 2 space i space fraction numerator negative 1 over denominator 3 end fraction.