Resum del tema Polinomis

Valor numèric i Teorema del Residu

Valor numèric d'un polinomi

En el llenguatge algebraic i als polinomis en particulars, les lletres indiquen nombres qualsevol. En el moment que passem a donar-li a la o les lletres un valor concret, obtindrem un resultat numèric.

El valor numèric d'un polinomi P(x) quan x=a és el valor que s'obté en substituir la x pel valor a i fer-ne les operacions que queden indicades. Aquest valor numèric l'indicarem per P(a).

Exemples:

P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1

El valor numèric de P(x) per x=1 es calcula:

P(1)=1⁴ -3·1³ - 2·1 + 1= 1-3-2+1=2-5= -3

El valor numèric de P(x) per x= - 1 es calcula:

P(-1)=(-1)⁴ -3·(-1)³ - 2·(-1 )+ 1= 1-3·(-1)+2+1=1+3+2+1= 7

El Teorema del Residu

El valor numèric de P(x) quan x=a coincideix amb el residu que s'obté en dividir P(x) per x-a.

Justificació: En dividir P(x) entre x-a el residu serà un nombre (recordem que el grau del residu sempre és menor que el del divisor)

Si li diem Q(x) i R al quocient i residu d'efectuar la divisió, tenim la següent igualtat

P(x)= (x-a)·Q(x)+R Si ara substituïm la x per calcular el valor numèric tenim:

P(a)=(a-a)·Q(a)+R= 0·Q(a) + R= R

Aquest teorema per tant ens proporciona una nova manera de calcular el valor numèric d'un polinomi, és a dir o bé substituïm la x pel valor que ens indiquin i operem o bé efectuem la divisió i ens quedem amb el residu, les dues coses coincidiran.

El residu el podem calcular fent la divisió clàssica o pel mètode de Ruffini.

Atenció: El residu de dividir un polinomi per (x+a) equival a P(-a).

Exemple:

  

Tenim 3 maneres de fer-ho: 

1) Fent la divisió de polinomis. 

     

2) Fent la divisió per Ruffini     

                              

3) Aplicant el Teorema del residu.  

     El teorema del residu ens diu que:

     El residu de dividir el   és igual al valor numèric  del polinomi en x=1, o sigui, 

    per tant aquest residu ho podem calcular fent:

        

Observació:

El residu de dividir un polinomi P(x) per x-1 = P(1)

El residu de dividir un polinomi P(x) per x+1 = P(-1)