Resum del tema Polinomis: Valor numèric i Teorema del Residu

Valor numèric i Teorema del Residu

Valor numèric d'un polinomi

En el llenguatge algebraic i als polinomis en particulars, les lletres indiquen nombres qualsevol. En el moment que passem a donar-li a la o les lletres un valor concret, obtindrem un resultat numèric.

El valor numèric d'un polinomi P(x) quan x=a és el valor que s'obté en substituir la x pel valor a i fer-ne les operacions que queden indicades. Aquest valor numèric l'indicarem per P(a).

Exemples:

P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1

El valor numèric de P(x) per x=1 es calcula:

P(1)=1⁴ -3·1³ - 2·1 + 1= 1-3-2+1=2-5= -3

El valor numèric de P(x) per x= - 1 es calcula:

P(-1)=(-1)⁴ -3·(-1)³ - 2·(-1 )+ 1= 1-3·(-1)+2+1=1+3+2+1= 7

El Teorema del Residu

El valor numèric de P(x) quan x=a coincideix amb el residu que s'obté en dividir P(x) per x-a.

P(a)= Residu de dividir P(x) per (x-a)

Justificació: En dividir P(x) entre x-a el residu serà un nombre (recordem que el grau del residu sempre és menor que el del divisor)

Si li diem Q(x) i R al quocient i residu d'efectuar la divisió, tenim la següent igualtat

P(x)= (x-a)·Q(x)+R Si ara substituïm la x per calcular el valor numèric tenim:

P(a)=(a-a)·Q(a)+R= 0·Q(a) + R= R

Aquest teorema per tant ens proporciona una nova manera de calcular el valor numèric d'un polinomi, és a dir o bé substituïm la x pel valor que ens indiquin i operem o bé efectuem la divisió i ens quedem amb el residu, les dues coses coincidiran.

El residu el podem calcular fent la divisió clàssica o pel mètode de Ruffini.

Atenció: El residu de dividir un polinomi per (x+a) equival a P(-a).

Exemple:

Feld eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen Calculeu Leerzeichen el Leerzeichen bold italic r bold italic e bold italic s bold italic i bold italic d bold italic u Leerzeichen de Leerzeichen dividir Leerzeichen bold italic P fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich bold italic x hoch fett 4 fett minus fett 3 bold italic x hoch fett 3 fett minus fett 2 bold italic x fett plus fett 1 Leerzeichen entre Leerzeichen fett Leerzeichen bold italic x fett minus fett 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende

Tenim 3 maneres de fer-ho:

1) Fent la divisió de polinomis.

$Leerzeichen aufwärtsdiagonal Strike Leerzeichen Leerzeichen x hoch 4 Strikeende minus 3 x hoch drei Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 x plus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen links eingeschlossen Unterstrich eingeschlossen Leerzeichen x minus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Unterstrich eingeschlossen aufwärtsdiagonal Strike minus x hoch 4 Strikeende plus x hoch drei Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x hoch drei minus 2 x im Quadrat minus 2 x minus 4 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen aufwärtsdiagonal Strike minus 2 x hoch drei Strikeende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Unterstrich eingeschlossen plus aufwärtsdiagonal Strike 2 x hoch drei Strikeende minus 2 x im Quadrat Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen aufwärtsdiagonal Strike minus 2 x im Quadrat Strikeende minus 2 x Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Unterstrich eingeschlossen plus aufwärtsdiagonal Strike 2 x im Quadrat Strikeende minus 2 x Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 4 x plus 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Unterstrich eingeschlossen plus 4 x minus 4 Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen fett minus fett 3 Ende Leerzeichen Leerzeichen$

2) Fent la divisió per Ruffini

$Tabelle Zeile blank Zeile fett 1 Zeile Zelle Oberstrich eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Ende Zelle Ende Tabelle links eingeschlossen Tabelle Zeile Zelle Leerzeichen 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 1 Ende Zelle Zeile Zelle Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 4 Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Zeile Zelle Oberstrich eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Oberstrich eingeschlossen 1 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus 4 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen minus 3 Ende Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Ende Tabelle Ende$

3) Aplicant el Teorema del residu.

El teorema del residu ens diu que:

El residu de dividir el $Leerzeichen bold italic P fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich bold italic x hoch fett 4 fett minus fett 3 bold italic x hoch fett 3 fett minus fett 2 bold italic x fett plus fett 1 Leerzeichen per Leerzeichen fett Leerzeichen bold italic x fett minus fett 1 Leerzeichen$ és igual al valor numèric del polinomi en x=1, o sigui, $bold italic P fett linke klammer fett 1 fett rechte klammer$

per tant aquest residu ho podem calcular fent:

$P linke klammer 1 rechte klammer gleich 1 hoch 4 minus 3 mal 1 hoch drei minus 2 mal 1 plus 1 gleich 1 minus 3 minus 2 plus 1 gleich Feld eingeschlossen minus 3 Ende$

Observació:

El residu de dividir un polinomi P(x) per x-1 = P(1)

El residu de dividir un polinomi P(x) per x+1 = P(-1)