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Us proposem un exercici que va aparèixer en les proves de selectivitat de l'any 2018.


Sigui f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à x au cube moins a x au carré plus b x plus c

Calculeu els valors dels paràmetres: a, b i c  per tal que la funció f(x) compleixi aquests requisits:

  • Tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=1
  • La recta tangent a la funció f(x) en x=0 sigui la recta y égal à x plus 3
Resolució:
S'ha de traduir les condicions del problema a equacions.
1a. condició.    f(x) ha de tenir un extrem relatiu en x= 1. Això vol dir que f '(1) =0
2a. condició.    La recta tangent a la funció en x=0 és la recta y égal à x plus 3.   Aquí hi ha dues equacions amagades.  f '(0) =1  i  f(0) =3.
Aquí cal veure que el pendent de la recta tangent coincideix amb la derivada en el punt x=0. La recta tangent té pendent m=1 per tant f ' (0)=m=1. Per una altra banda si x=0 el valor de y en la recta és y=0+3=3, per tant el punt on coincideixen la recta tangent i la funció f(x) és en el punt (0,3)

Ara només queda resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:

f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à x au cube moins a x au carré plus b x plus c espace double flèche vers la droite espace f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à 3 x au carré moins 2 a x plus b accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left espacement de colonne 1.4ex fin des attributs ligne cellule f espace apostrophe parenthèse gauche 1 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 0 fin de cellule ligne cellule f espace apostrophe parenthèse gauche 0 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 1 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 0 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 3 fin de cellule fin de tableau fin double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left espacement de colonne 1.4ex fin des attributs ligne cellule f espace apostrophe parenthèse gauche 1 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 3 parenthèse gauche 1 parenthèse droite au carré moins 2 a parenthèse gauche 1 parenthèse droite plus b égal à 0 fin de cellule ligne cellule f espace apostrophe parenthèse gauche 0 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 3 parenthèse gauche 0 parenthèse droite au carré moins 2 a parenthèse gauche 0 parenthèse droite plus b égal à 1 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 0 parenthèse droite fin de cellule cellule égal à 0 au cube moins a fois 0 au carré plus b fois 0 plus c égal à 3 fin de cellule fin de tableau fin double flèche vers la droite accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left espacement de colonne 1.4ex fin des attributs ligne cellule 2 a moins b fin de cellule cellule égal à 3 fin de cellule ligne b cellule égal à 1 fin de cellule ligne c cellule égal à 3 fin de cellule fin de tableau fin double flèche vers la droite cadre englobant accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left left espacement de colonne 1.4ex 1.4ex fin des attributs ligne a cellule égal à 2 fin de cellule ligne b cellule égal à 1 fin de cellule ligne c cellule égal à 3 fin de cellule fin de tableau fin fin double flèche vers la droite A q u e s t s espace s ó n espace e l s espace v a l o r s espace d e l s espace p a r à m e t r e s

 

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