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Us proposem un exercici que va aparèixer en les proves de selectivitat de l'any 2018.


Sigui f linke klammer x rechte klammer gleich x hoch drei minus a x im Quadrat plus b x plus c

Calculeu els valors dels paràmetres: a, b i c  per tal que la funció f(x) compleixi aquests requisits:

  • Tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x=1
  • La recta tangent a la funció f(x) en x=0 sigui la recta y gleich x plus 3
Resolució:
S'ha de traduir les condicions del problema a equacions.
1a. condició.    f(x) ha de tenir un extrem relatiu en x= 1. Això vol dir que f '(1) =0
2a. condició.    La recta tangent a la funció en x=0 és la recta y gleich x plus 3.   Aquí hi ha dues equacions amagades.  f '(0) =1  i  f(0) =3.
Aquí cal veure que el pendent de la recta tangent coincideix amb la derivada en el punt x=0. La recta tangent té pendent m=1 per tant f ' (0)=m=1. Per una altra banda si x=0 el valor de y en la recta és y=0+3=3, per tant el punt on coincideixen la recta tangent i la funció f(x) és en el punt (0,3)

Ara només queda resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:

f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich x hoch drei minus a x im Quadrat plus b x plus c Leerzeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen f Leerzeichen apostroph linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich 3 x im Quadrat minus 2 a x plus b geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Spaltenausrichtung 1.4ex Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen apostroph linke klammer 1 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 0 Ende Zelle Zeile Zelle f Leerzeichen apostroph linke klammer 0 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 1 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 0 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen dicker rechtspfeil geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Spaltenausrichtung 1.4ex Ende Attribute Zeile Zelle f Leerzeichen apostroph linke klammer 1 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 3 linke klammer 1 rechte klammer im Quadrat minus 2 a linke klammer 1 rechte klammer plus b gleich 0 Ende Zelle Zeile Zelle f Leerzeichen apostroph linke klammer 0 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 3 linke klammer 0 rechte klammer im Quadrat minus 2 a linke klammer 0 rechte klammer plus b gleich 1 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 0 rechte klammer Ende Zelle Zelle gleich 0 hoch drei minus a mal 0 im Quadrat plus b mal 0 plus c gleich 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen dicker rechtspfeil geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Spaltenausrichtung 1.4ex Ende Attribute Zeile Zelle 2 a minus b Ende Zelle Zelle gleich 3 Ende Zelle Zeile b Zelle gleich 1 Ende Zelle Zeile c Zelle gleich 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen dicker rechtspfeil Feld eingeschlossen geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left left Spaltenausrichtung 1.4ex 1.4ex Ende Attribute Zeile a Zelle gleich 2 Ende Zelle Zeile b Zelle gleich 1 Ende Zelle Zeile c Zelle gleich 3 Ende Zelle Ende Tabelle schließen Ende dicker rechtspfeil A q u e s t s Leerzeichen s ó n Leerzeichen e l s Leerzeichen v a l o r s Leerzeichen d e l s Leerzeichen p a r à m e t r e s

 

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