Previous
Next


Exercici 1.

Aquesta expressió   f left parenthesis x right parenthesis equals 500 minus x squared over 8000  relaciona  x= nombre d'unitats venudes d'un producte, i f(x) el preu en euros de cada unitat.

Se sap que la fabricació té unes despeses fixes de 100 000 euros i unes despeses variables de 100 euros per unitat fabricada.
a) Trobeu la funció B(x) que expressi el benefici obtingut per la venda de "x" unitats. Els Beneficis s'obtenen de restar els ingressos menys les despeses.
b) Calculeu el nombre d'unitats que cal fabricar per obtenir el màxim de beneficis.
c) Quin és el preu per unitat òptim?



Recordeu els passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat
  • Pas 1. Identificar les variables x=nombre d'unitats venudes d'un producte. Només hi ha una variable.
  • Pas 2. Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar. Observeu que la funció f(x) no és la funció a optimitzar. S'ha d'optimitzar el benefici
B left parenthesis x right parenthesis equals I n g r e s s o s space minus space D e s p e s e s space equals x times open square brackets 500 minus x squared over 8000 close square brackets space space minus space space open square brackets 100000 plus 100 x close square brackets
Els ingressos es calculen multiplicant les unitats pel preu de cada unitat
Les despeses són els  100000 euros més 100 euros per cada unitat fabricada

  • Pas 3 i Pas 4 no s'han de fer, ja que només hi ha una variable
  • Pas 5 Trobar els extrems de la funció B(x)
B left parenthesis x right parenthesis equals x times open square brackets 500 minus x squared over 8000 close square brackets space space minus space space open square brackets 100000 plus 100 x close square brackets space equals space 500 x minus x cubed over 8000 minus 10000 minus 100 x equals 400 x minus x cubed over 8000 minus 10000 E s space d e r i v a space a q u e s t a space f u n c i ó colon B space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 400 minus fraction numerator 3 x squared over denominator 8000 end fraction S apostrophe i g u a l a space a space z e r o B space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 400 minus fraction numerator 3 x squared over denominator 8000 end fraction equals 0 space space space space rightwards double arrow space space space 0 equals 400 minus fraction numerator 3 x squared over denominator 6000 end fraction space space space rightwards double arrow space space space minus 400 equals negative fraction numerator 3 x squared over denominator 8000 end fraction space space space rightwards double arrow space space space minus 3200000 equals negative 3 x squared space space rightwards double arrow space space fraction numerator space 3200000 over denominator 3 end fraction equals x squared x equals plus-or-minus 1032 N o m é s space l a space s o l u c i ó space p o s i t i v a space t é space s e n t i t

  • Pas 6 Comprovar si són és màxim o mínim. Podem usar la segona derivada.
B space apostrophe apostrophe space left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator negative 6 x over denominator 8000 end fraction B space apostrophe apostrophe left parenthesis 1032 right parenthesis equals fraction numerator negative 6 left parenthesis 1032 right parenthesis over denominator 8000 end fraction equals negative space p e r space tan t space é s space m à x i m

  • Analitzem la coherència del resultat.  Encara que s'han obtingut dos resultats només el resultat positiu té sentit.

Resposta: S'ha obtingut que cal fabricar 1032 unitats del producte per tal que el benefici sigui màxim. I el preu per unitat serà    f left parenthesis 1032 right parenthesis space equals left parenthesis 500 minus 1032 squared over 8000 right parenthesis space equals 366 comma 87 space e u r o s


Previous
Next